万老师，能请教个问题吗？我现在知道学习历史，地理什么的人生目的。因此学习起这些学科非常快乐，为学习到东西而兴奋。但是，可惜我至今还不知学习数学的目的，人大的数学老师虽有方，却是培养做题机器。现在，我想知道数学在今后的作用，那些集合、幂函数在今后的作用。还是在思维上有些作用？
——嘉欣
嘉欣同学：
你问了一个很好的问题。只有独立思考的学生才能产生这样的问题。
学习数学的意义是什么？是为了记住一些公式吗？是为了学会解题吗？或者，是为了应付考试？很多人不会像你这样疑惑，是因为他们的答案就是其中之一。
你现在学的那些东西，集合也好，幂函数也好，多年之后，如果你不从事与数学有关的职业，那些具体的公式、定理会淡忘，但是，一定有些东西会在大脑中留下印记，那些，才是真正有用的东西。
从我这样一个中学教师的角度而言，学习数学的目的是训练思维。数学的思维是一种科学的思维。你还记得我在给你们上课时强调的一些思维习惯吗？
最重要的当然是逻辑思维。世界上没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨，一件事情如果发生了，一定有其原因。在数学学习尤其是几何证明时，我们强调每一步的理由，每一个结论都是经严格推导得出的。逻辑严密的人是理性的，遇到问题，不会慌乱，而是冷静地思考其背后的逻辑关系。而当要完成一项任务时，也会列出需要达到的条件，并一一去落实。
接着是归纳思维。也就是找规律。我们以前常常做这样的题目：一个数列，告诉你前面几个数，让你写出后面的数。归纳是一种分析判断的能力。根据已经掌握的数据发现其背后的原因，根据一个人外表的行为分析其心理活动，根据一个人的态度分析自己哪些地方做得不好。归纳能力强的人比较善于反思。通常相同的错误犯了两次以上，绝对不会犯第三次。
然后是逆向思维。当完成题设推出结论的命题时，反过来想一想，结论能不能推出题设，这就是一种逆向思维。1+1＝2，那么，2是不是等于1+1呢？当然不一定，那么，2什么时候一定等于1+1呢？这就需要加一些条件。例如，把2分解成两个正整数的和。你和妈妈去商场，把车停在地下车库。停好车之后，你们去找电梯上楼。你发现地下车库很大，于是暗暗记住回来的路。结果购物回来，你妈妈不知道去哪里找车，你给她带路，这就是逆向思维能力强的表现。
进一步就是发散思维。逆向思考只是反方向，发散思维是向任何方向。记得万老师给你们做过的训练吗？一道题目，只给出条件，结论让你们自己填，看谁想出的结论多。一道题目，如果变换其中一个条件，结论会产生怎样的变化。发散思维是一种举一反三甚至举一反十的能力。善于发散的人思维有跳跃性，从一件事情跳到另一件事，见微知著。在经历过一个错误之后，与此相关的各种错误他都能有效地避免。
数学也是强调直觉的。这便是猜想。有的时候老师不告诉你们一道题目的答案，而是让你们猜。猜一半需要理性判断，一半需要直觉。很多数学史上有名的定理，都是先有一个猜想，然后许多人绞尽脑汁去证明。有的证明历时数百年，有的猜想直到现在仍然是一个未解之谜。但正是猜想推动了数学的发展。人生也是一样的，我们需要梦想，需要想象。想的多了，实现的可能就越大。
想象力丰富的人必定充满创造力。有一次有同学对勾股定理的证明感兴趣，万老师花了一节课给大家介绍各种证明方法。你应当会感受到这些不同证明的魅力。它们是如此与众不同，因而独一无二，这就是创造。我们每一个人都是和别人不一样的，每一个人都会成为唯一的个体。今天的我们和昨天也不相同，我们需要创造自己的未来。
这些不同的思维之间都有联系性。例如，乔布斯就认为，发散思维强的人更具备创造性。所谓创造性，就是在不同的事物之间建立连接。能轻而易举地从一个领域发散到另一个领域，这不是一般的能力。
数学中的思维很多。实际上，人类所有的思维方式在数学中都能找到。这才是学习数学的本质意义。
当然，有些人从来没有学过数学，也具备很好的思维能力。这是因为，培养思维的方式有很多种，有人天生思维能力就很强，有人很善于从自身的成长实践尤其是失败挫折中去吸取养分。
不知道你有没有注意到，很多人年纪很长了，退休了，却仍然充满兴趣地去学习一样新的东西。这是没有任何功利心的学习。这又是什么道理呢？
我觉得，人生的意义就是学习。不管学什么，学到最后，都是在思考人生的道理，这些道理，从各行各业的专业基础知识开始，到了顶端，都是相通的。
你是一个有灵气的孩子，当年你的数学日记曾经让我刮目相看。人大的老师很优秀，但每位老师也一定有短板。千万不要抱怨你的老师。因为如果你抱怨了，我会发散到作为你曾经的老师，我自己也必定不能幸免。思考是自己的事情，学习是自己的事情。如果能从一位老师身上学到一点有用的东西，你的人生就足够丰富多彩了。
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