万老师,能请教个问题吗?我现在知道学习历史,地理什么的人生目的。因此学习起这些学科非常快乐,为学习到东西而兴奋。但是,可惜我至今还不知学习数学的目的,人大的数学老师虽有方,却是培养做题机器。现在,我想知道数学在今后的作用,那些集合、幂函数在今后的作用。还是在思维上有些作用?
——嘉欣
嘉欣同学:
你问了一个很好的问题。只有独立思考的学生才能产生这样的问题。
学习数学的意义是什么?是为了记住一些公式吗?是为了学会解题吗?或者,是为了应付考试?很多人不会像你这样疑惑,是因为他们的答案就是其中之一。
你现在学的那些东西,集合也好,幂函数也好,多年之后,如果你不从事与数学有关的职业,那些具体的公式、定理会淡忘,但是,一定有些东西会在大脑中留下印记,那些,才是真正有用的东西。
从我这样一个中学教师的角度而言,学习数学的目的是训练思维。数学的思维是一种科学的思维。你还记得我在给你们上课时强调的一些思维习惯吗?
最重要的当然是逻辑思维。世界上没有无缘无故的爱,也没有无缘无故的恨,一件事情如果发生了,一定有其原因。在数学学习尤其是几何证明时,我们强调每一步的理由,每一个结论都是经严格推导得出的。逻辑严密的人是理性的,遇到问题,不会慌乱,而是冷静地思考其背后的逻辑关系。而当要完成一项任务时,也会列出需要达到的条件,并一一去落实。
接着是归纳思维。也就是找规律。我们以前常常做这样的题目:一个数列,告诉你前面几个数,让你写出后面的数。归纳是一种分析判断的能力。根据已经掌握的数据发现其背后的原因,根据一个人外表的行为分析其心理活动,根据一个人的态度分析自己哪些地方做得不好。归纳能力强的人比较善于反思。通常相同的错误犯了两次以上,绝对不会犯第三次。
然后是逆向思维。当完成题设推出结论的命题时,反过来想一想,结论能不能推出题设,这就是一种逆向思维。1+1=2,那么,2是不是等于1+1呢?当然不一定,那么,2什么时候一定等于1+1呢?这就需要加一些条件。例如,把2分解成两个正整数的和。你和妈妈去商场,把车停在地下车库。停好车之后,你们去找电梯上楼。你发现地下车库很大,于是暗暗记住回来的路。结果购物回来,你妈妈不知道去哪里找车,你给她带路,这就是逆向思维能力强的表现。
进一步就是发散思维。逆向思考只是反方向,发散思维是向任何方向。记得万老师给你们做过的训练吗?一道题目,只给出条件,结论让你们自己填,看谁想出的结论多。一道题目,如果变换其中一个条件,结论会产生怎样的变化。发散思维是一种举一反三甚至举一反十的能力。善于发散的人思维有跳跃性,从一件事情跳到另一件事,见微知著。在经历过一个错误之后,与此相关的各种错误他都能有效地避免。
数学也是强调直觉的。这便是猜想。有的时候老师不告诉你们一道题目的答案,而是让你们猜。猜一半需要理性判断,一半需要直觉。很多数学史上有名的定理,都是先有一个猜想,然后许多人绞尽脑汁去证明。有的证明历时数百年,有的猜想直到现在仍然是一个未解之谜。但正是猜想推动了数学的发展。人生也是一样的,我们需要梦想,需要想象。想的多了,实现的可能就越大。
想象力丰富的人必定充满创造力。有一次有同学对勾股定理的证明感兴趣,万老师花了一节课给大家介绍各种证明方法。你应当会感受到这些不同证明的魅力。它们是如此与众不同,因而独一无二,这就是创造。我们每一个人都是和别人不一样的,每一个人都会成为唯一的个体。今天的我们和昨天也不相同,我们需要创造自己的未来。
这些不同的思维之间都有联系性。例如,乔布斯就认为,发散思维强的人更具备创造性。所谓创造性,就是在不同的事物之间建立连接。能轻而易举地从一个领域发散到另一个领域,这不是一般的能力。
数学中的思维很多。实际上,人类所有的思维方式在数学中都能找到。这才是学习数学的本质意义。
当然,有些人从来没有学过数学,也具备很好的思维能力。这是因为,培养思维的方式有很多种,有人天生思维能力就很强,有人很善于从自身的成长实践尤其是失败挫折中去吸取养分。
不知道你有没有注意到,很多人年纪很长了,退休了,却仍然充满兴趣地去学习一样新的东西。这是没有任何功利心的学习。这又是什么道理呢?
我觉得,人生的意义就是学习。不管学什么,学到最后,都是在思考人生的道理,这些道理,从各行各业的专业基础知识开始,到了顶端,都是相通的。
你是一个有灵气的孩子,当年你的数学日记曾经让我刮目相看。人大的老师很优秀,但每位老师也一定有短板。千万不要抱怨你的老师。因为如果你抱怨了,我会发散到作为你曾经的老师,我自己也必定不能幸免。思考是自己的事情,学习是自己的事情。如果能从一位老师身上学到一点有用的东西,你的人生就足够丰富多彩了。
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