学术派丨证明高斯-马尔科夫定理：教科书中很少见的三种方法

OLS估计是计量经济学的Benchmark，而高斯-马尔科夫定理对此提供了理论支持。在初级计量经济学中，唯一的定理或许就是高斯-马尔科夫定理。该定理的具体内容是：当高斯-马尔科夫假定成立时，OLS估计量是最优线性无偏估计量（Best Linear Unbiased Estimator，BLUE），亦即在所有线性无偏估计量中，OLS估计量最有效或者说方差最小。

为简化数学上的复杂性，初级计量经济学通常假定线性回归模型中的解释变量具有非随机性。此时，对于一元线性回归模型，高斯-马尔科夫假定包括六大假定——

本文以一元线性回归模型为例，采用三种方法证明：关于斜率参数

的OLS估计量

具有BLUE性质。三种证明方法的思路均比较清晰，其中第二种与第三种证明方法运用了柯西-施瓦茨不等式，笔者自认为尤具数学上的美感。

证明方法一：构造拉格朗日函数

记关于

的任意一种线性估计量 为

，其中权数

是关于解释变量

的函数。当

满足无偏性时，有：

（1）

而

（2）

再结合假定4，则必有：

（3）

（4）

现在考察

的方差：

（5）

由于

与

均为非随机变量，式（5）可简化为：

（6）

根据假定5与6，有：

（7）

接下来我们构建如下一个最优化问题：

（8）

对于最优化问题（8），通过构造拉格朗日函数，可证明最优化解为：

（9）   

上述证明方法思路清晰，但比较麻烦的是，最后需利用一阶条件求最优解。

证明方法二：运用非随机版本的柯西-施瓦茨不等式

（10）

为了证明式（10），我们可以运用非随机版本的柯西-施瓦茨不等式。那么，什么是非随机版本的柯西-施瓦茨不等式呢？在此，我们不妨首先考察任意两个变量

与

的样本相关系数的平方：

（11）   

我们知道，样本相关系数

，而该不等式正是非随机版本的柯西-施瓦茨不等式。现在，我们针对变量

与

利用该不等式，有：

（12）      

我们注意到，基于离差之和恒为0的性质有：

（13）

再利用式（3）与（4），有：

（14）

根据式（12）与（14），有：

（15）

根据式（3）知：

，故式（10）得证。

证明方法三：运用随机版本的柯西-施瓦茨不等式

从本质上看，我们需要证明的是：

（16）

为了证明式（16），我们可以运用随机版本的柯西-施瓦茨不等式。那么，什么是随机版本的柯西-施瓦茨不等式呢？在此，我们不妨首先考察任意两个变量

与

的总体相关系数的平方：

（17）

我们知道，总体相关系数

，而该不等式就是随机版本的柯西-施瓦茨不等式。现在，我们针对变量

与

利用该不等式，有：

（18）

注意到根据假定2、5与6，有：

（19）

而

（20）

再结合式（3）与（4），有：

（21）

故有：

（22）

最后，我们将式（22）带入式（18），即可证明式（16）成立。

结语

本文是关于初级计量经济学的一份技术笔记，就笔者曾阅读过的教科书而言，本文所提供的关于高斯-马尔科夫定理的三种证明方法是很少见的。

一位年轻的学子对此文进行了评论：“对于那些有志于学术的学生来说，这类技术笔记十分有助于厘清计量经济学的本质。但是，当前大部分学生秉承的都是工具主义，就是敲Stata代码，而此类技术笔记对此就帮助不大了。”这位年轻学子十分有见地，但笔者在此想以自己的一段经历来回应他的评论，并以此作为结语：

笔者多年前曾经听过北京大学平新乔老师的高级微观经济学课程。由于该课程涉及复杂高深的的数学证明，平老师有时要花上三节课时间才推导完一个定理。这些定理通常具有明显的经济学直觉，但平老师坚持认为对定理进行严格证明十分重要。笔者依稀记得，平老师讲过一句很有启发性的话，其大意是——

“军人练习踢正步、立正与稍息，表面看来缺乏实战价值，但这种基本功可以区分正规军与民兵。”

·END·