OLS估计是计量经济学的Benchmark,而高斯-马尔科夫定理对此提供了理论支持。在初级计量经济学中,唯一的定理或许就是高斯-马尔科夫定理。该定理的具体内容是:当高斯-马尔科夫假定成立时,OLS估计量是最优线性无偏估计量(Best Linear Unbiased Estimator,BLUE),亦即在所有线性无偏估计量中,OLS估计量最有效或者说方差最小。为简化数学上的复杂性,初级计量经济学通常假定线性回归模型中的解释变量具有非随机性。此时,对于一元线性回归模型,高斯-马尔科夫假定包括六大假定——
本文以一元线性回归模型为例,采用三种方法证明:关于斜率参数的OLS估计量具有BLUE性质。三种证明方法的思路均比较清晰,其中第二种与第三种证明方法运用了柯西-施瓦茨不等式,笔者自认为尤具数学上的美感。
记关于的任意一种线性估计量 为,其中权数是关于解释变量的函数。当满足无偏性时,有:对于最优化问题(8),通过构造拉格朗日函数,可证明最优化解为:上述证明方法思路清晰,但比较麻烦的是,最后需利用一阶条件求最优解。为了证明式(10),我们可以运用非随机版本的柯西-施瓦茨不等式。那么,什么是非随机版本的柯西-施瓦茨不等式呢?在此,我们不妨首先考察任意两个变量与的样本相关系数的平方:我们知道,样本相关系数,而该不等式正是非随机版本的柯西-施瓦茨不等式。现在,我们针对变量与利用该不等式,有:为了证明式(16),我们可以运用随机版本的柯西-施瓦茨不等式。那么,什么是随机版本的柯西-施瓦茨不等式呢?在此,我们不妨首先考察任意两个变量与的总体相关系数的平方:我们知道,总体相关系数,而该不等式就是随机版本的柯西-施瓦茨不等式。现在,我们针对变量与利用该不等式,有:最后,我们将式(22)带入式(18),即可证明式(16)成立。本文是关于初级计量经济学的一份技术笔记,就笔者曾阅读过的教科书而言,本文所提供的关于高斯-马尔科夫定理的三种证明方法是很少见的。一位年轻的学子对此文进行了评论:“对于那些有志于学术的学生来说,这类技术笔记十分有助于厘清计量经济学的本质。但是,当前大部分学生秉承的都是工具主义,就是敲Stata代码,而此类技术笔记对此就帮助不大了。”这位年轻学子十分有见地,但笔者在此想以自己的一段经历来回应他的评论,并以此作为结语:笔者多年前曾经听过北京大学平新乔老师的高级微观经济学课程。由于该课程涉及复杂高深的的数学证明,平老师有时要花上三节课时间才推导完一个定理。这些定理通常具有明显的经济学直觉,但平老师坚持认为对定理进行严格证明十分重要。笔者依稀记得,平老师讲过一句很有启发性的话,其大意是——“军人练习踢正步、立正与稍息,表面看来缺乏实战价值,但这种基本功可以区分正规军与民兵。”
本站仅提供存储服务,所有内容均由用户发布,如发现有害或侵权内容,请
点击举报。