线性代数复习（一）

行列式 det(A)=|A| 对角线运算

1. 行列互换，行列式值不变
   
2. 行列式一行的公因子可以提出
   
3. 行列式中若有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，他们的这一行分别是第一组数和第二组数，其余行不变。
   
4. 两行互换，行列式反号
   
5. 两行相同，行列式等于0
   
6. 两行成比例，行列式为0
   
7. 把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变

 

 

 

 

判断方程式有无唯一解：a₁₁x₁+a₁₂x₂₌ b₁

a₂₁x₁₊a₂₂x₂₌ b₂

| a₁₁ a₁₂ b₁| 若a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁  =  0则有无穷多解或无解

| a₂₁ a₂₂ b₂| 若a₁₁a₂₂-a₁₂a_{21  !}=  0则有唯一解

n元的排列总数为n！

在n元排列a₁a₂...a_n中，任取一对数a_ia_j(i<j），若a_i<a_j为顺序排列，a_j<a_i为逆序排列，逆序数为奇数（偶数）的排列称为奇（偶）排列。

余子式

n阶行列式|A|中，划掉第i行和第j列，剩下的元素按原来次序组成的n-1阶行列式称为矩阵A的（i，j）元的余子式，记作M_ij

A_ij =(-1)^i+jM_ij

A_ij称为A的（i，j）元的代数余子式。

n阶行列式|A|等于他的第i行元素与自己的代数余子式的乘积之和，即

|A|=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in

 

 

  

 

 

n元线性方程组有唯一解的充分必要条件是他的系数行列式即系数矩阵的行列式不为0，他的唯一解为

 

 B₁...B_n分别是把系数矩阵A的第1...n列换成常数项得到的矩阵

n元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是他的系数行列式不等于0；从而他有非零解的充分必要条件是他的系数行列式等于0.