高中数学：数列求和的方法

一、倒序相加法

此法来源于等差数列求和公式的推导方法。

例1、已知

求

解：

。                        ①

把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：

                                 ②

把①②两式相加得

二、错位相消法

此法来源于等比数列求和公式的推导方法。

例2、求数列

的前n项和。

解：设

当

时，

当

时，

                           ①

①式两边同时乘以公比a，得

         ②

①②两式相减得

三、拆项分组法

把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。

例3、求数列

的前n项和。

解：设数列的前n项和为

，则

 

 

当

时，

当

时，

小贴士：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与

的情况进行讨论。

四、裂项相消法

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。如

 

 

例4、求数列

的前n项和。

解：

 

五、奇偶数讨论法

如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出

与n的关系进行求解。

例5、已知数列

求该数列的前n项和

。

解：

对n分奇数、偶数讨论求和。

①当

时，

 

②当

时，

 

六、通项公式法

利用

，问题便转化成了求数列

的通项问题。

例6、已知数列

求该数列的前n项和

。

解：

 

即

∴数列

是一个常数列，首项为

七、综合法

尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。

例7、已知

求

分析：注意观察到：

其他可依次类推。关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。

解：①当n为奇数时，由以上的分析可知：

②当n为偶数时，可知：

由①②可得