作者:孟文娣,任教于江苏省徐州高级中学,中学数学一级教师,教育硕士,曾获徐州市学生最爱教师,徐州市课改先进个人称号。文章发表于《高中数学教与学》2019年第3期。
但笔者所执教班级得分率极低。第(1) 问7分,平均得分2.7分,得分率仅为38.8%。在给出正确解答方法的同时,教师更应该理清学生出错的原因,寻找对策。如果仅仅给出正确解答,对学生知识和能力的提高显然作用不大,为什么出错,错在哪里应该是教师必须解决的问题。
翻看学生的试卷,学生思路的开阔,一些独特的方法让人拍案叫绝! 立足学生,尊重学生的想法,沿着学生的思路寻求问题解决方案,方能让学生自主进行知识的建构和整合,为学生综合能力的提高奠定基础。在学生方法的启示下,也可以拓宽教师的思路,发现各种方法间的本质关系,提高教师的科研水平,一举两得。
解法2与解法1的思路基本是一致的,不同之处在于其未直接求边BC,而是通过两种不同的形式表示同一个量,达到建立方程的目的,先求角θ的正切值,再求边BC。数学知识的考查多数都会用到这种思想,如利用倾斜角和两点坐标构建斜率相等的关系求变量,或利用导数与两点坐标构建斜率相等的关系求变量,利用向量数量积的坐标运算和定义运算构建方程求变量,等等。所以将此种方法展示给学生是很有必要的( 下面的解法中也多次用到了这种思想)。
方法3、4思路基本一致,利用勾股定理表示各边,再分别借助余弦定理、等积法建立关于x的方程求解。利用此两种方法的学生均未得分,主要原因都在于在有限的时间内未能算出正确结果,可见此两种方法最大的弊端在于运算量较大,而学生在处理时又未能很好的运用十字相乘等运算技巧,导致错误。其次即使计算得出结果,取舍可能也是一个失分点。但是此种方法恰恰是较多学生采用的方法,因为学生更善于在“边”上找关系,而忽视“角”所带来的便捷性。
借助以上四种方法可引导学生寻求方法之间的差异,对比优劣,发现问题本质。解法1、2均是借助角的关系建立方程,解法3、4均是借助边的关系建立方程,对比之下,前者在运算上较为简单,这也正是高考考查的一个方向。在应用题的设置上更倾向于利用角的关系解决问题,让学生初步体会“角参”相较于“边参”的优越性。而解法4又正是解法2思想的体现,通过二者对比,可让此种思想方法更加深入人心。
运用此种方法的学生也未能算出正确答案,原因仍是四次方程的求解未处理好,计算不过关。但是能想到利用建系,利用向量数量积的两种形式建立方程实属不易,体现了学生较强的数学综合能力。但是这种方法建立方程容易,求解困难,仍然体现出“边参”的劣势,如何优化呢?
坐标运算除了在向量中应用广泛,在解析几何中更是研究的基础和根本。笔者在课前尝试在建系的方式下,利用“角参”得到了求解过程,课上通过笔者的引导,师生共同得到解法6。
通过上述两种方法的比较,学生再次体会到“角参”的优越性。特别是建系后,利用坐标运算,能够快速抓住图形的本质,建立方程,给解题过程带来便捷。在解法5的提示下,笔者顺利得到解法6,对于教师来说,也是认识和教科研水平的进步。通过解法5、6,让学生感受到建系在向量、解析几何中的便捷性,进一步将数、形结合起来,有助于学生进行数学知识的综合建构。
上面的错解看似利用了余弦定理,但仔细分析一下,可以看出解题过程仅仅在△ACD 中通过作高推导了一下余弦定理,或错解仅仅在△ACD 中书写了一下余弦定理的表达式,这自然是一个恒等式。然而学生添加辅助线的方式还是合理的,保留条件中已知角的完整性,尽可能在特殊的直角三角形中求解问题,符合学生的认知规律,所以找出解决办法是关键。课前笔者又再次在此种模式下寻求解决办法,于是得到解法7。
解法7虽然建立了正确的方程,但运算量还是很大,如何优化呢?笔者将问题抛给学生,学生自然想到通过“角参”解决,顺利得到解法8。
可见学生对于本题的理解还是很深刻的,意识到了设角解决问题的优越性,体会了数学中的化归、数形结合等思想方法。对于笔者而言更是受益匪浅,如果不是学生思路的启示,解法6和解法7、8恐怕很难出现。而这三种方法又很好的体现了前几种方法的区别和本质,即通过设角优化解题过程。
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