模型研究 | 全等中的三垂直

【原题再现】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD为中线，AE⊥BD于点F.

求证：∠1=∠2

解析：

求证两个角相等，对于八上的学生来说，通常有以下几种方法：

1.两三角形全等，对应角相等；

2.同一三角形中，等边对等角；

3.平行中同位角、内错角相等；

4.等角的余角或补角相等。

……

解法1：

我们知道AD=CD，很显然，可以把∠1和∠2放到两个全等的三角形中，那么

在△DEC中， 有∠2、CD以及45度的∠C，那么只需要作出∠BAD的平分线便有了45°、AD和∠1. 

现在我们已经明确了，只要证明△AGD≌△CED，就可以得到∠1=∠2了。那么现在证全等还需要什么条件？

已知一边（AD=CD）和一角（∠GAD=∠ECD=45°），那么再找一角用AAS，或再找一边用SAS【旁白：要是再找一角相等，还证什么全等】

好吧，我们需要AG=CE，这样就可以用SAS了。

可AG在这样一个三角形中，

你能看到它是怎么和CE相等的吗？

已知条件中有∠BAC=∠AFD=90度【垂直模型】

那么∠ABG=∠EAC【同角的余角相等，都和∠1互余】

所以有△ABG≌△CAE【ASA】

所以AG=CE，这样就解决了△AGD和△CED全等的条件。

你明白了吗？

解法2：

图中出现等腰直角三角形，我们很容易想到三垂直模型。

角的计算通常用有镖型、8字型，而全等三角形常用的有手拉手，三垂直等模型，现在我们先来认识一下三垂直模型

三垂直模型，即一条线上三个直角，这两个三角形只有具备一条边相等便会全等。【因为这两个直角三角形中，两锐角分别相等】

三垂直模型还有如下变形

你知道它是怎么变的吗

我们给这道题构造成三垂直模型，比如我们可以这样

也可以这样

因为∠1在△ABD中，我们选择这样

点C作AC的垂线，交AE的延长线上于点G.

由∠GAC=∠ABD，AB=AC，∠BAD=∠ACG得△ABD≌△CAG【ASA】

所以CG=AD=CD.∠1=∠G

由CD=CG,∠GCE=∠DCE=45°,CE=CE得△GCE≌△DCE【SAS】

所以∠G=∠2

即∠1=∠2

此题中还有很多结论,如

(1)∠AEB=∠DEC

(2)BE=2EC

(3)BD=3DE

……

练习1.Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，过C作CD⊥BE于D，

连接AD，求证：∠ADB＝45°。 

练习2.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.

结束语：

判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和数量关系．证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

来源：向北数学（ID：N-Math）