最近，美国的Mega Millions的头奖金额在10月23日的开奖日期前累积达到了史上最高：16亿美金！各路人士纷纷前往彩票点购买彩票，不少人也在社交媒体上晒买的彩票相片。最后，一位来自南卡罗莱纳州的超级锦鲤，选中了全部的6个数字。并且，TA是此次投彩人群中唯一一位6数全中的人，于是一人抱走了16亿美金的大奖。
买彩票可谓是一项全民娱乐的活动。一般来说，总有一群在积极地为博彩事业添砖加瓦，他们想着一夜致富，实现财务自由，走向人生巅峰。每隔一段时间，一些博彩会突然因为彩池的增长而挤上头条，吸引着越来越多的投机者，于是彩池进一步增大，头奖也积累得越来越高，一些平时不会买彩票的人也会跟个风。这风一跟，彩池就越来越大，真是个良性循环！这次的Mega Millions正是如此。我从来不买彩票，却也依稀记得2016年初，美国的博彩Powerball Game的头奖金额高达15亿美金，当时广大群众的反应也如对现在的Mega Millions一般……
然而身为一名统计学教授，每每到了这种时刻，总是理智地看着周围人的疯狂。之所以记得2016年的Powerball Game，是因为当时我刚好教完一班本科生的概率课，正直寒假，但也挑灯夜战给班里的孩子们写了一封邮件，给他们计算了一下买彩票的期望回报，并指出买彩票从来都是亏本生意。后来我惊讶的发现，一个妹子看了我的邮件之后，反而跑去多买了五注……所以啊，人的投机心理不可小觑！
那么Mega Millions是否值得买呢？这就需要我们先来了解一下Mega Millions的玩法。最基本的规则，就是你花2美金，选6个数字。这6个数字的其中5个数字，你可以从1到70的整数之间任选5个（下图的上部白色区域）；第6个数字，你可以从1到25中任选1个（下图的下部蓝色区域）。
最终开奖也是按这样的抽法（1到70选5， 1到25选1）。若是能6个全中，你就能获得头奖，头奖的金额预先并没有设定好：若是多次开奖，头奖都没被赢走，那就意味着下次的头奖会积累得更大。
除了头奖之外，其他奖项的金额都是预先设定好的：比如头5个全中最后1个没中（即“5+0”），你能获得100万美金；头5个中4个最后1个中（即“4+1”），你能获得10万美金；头5个中4个最后1个没中（即“4+0”），你能获得500美金，等等（详情可见下图）。最低的奖金是头5个没中最后1个中，你可以获得2美金， 即你每买一张彩票的成本。当然，最糟糕的情况是一个6个都没中，那这买彩票的2美金就白花了。
从奖金的数量上来看，很明显，“5+0”比“4+1”更值钱（100万美金vs1万美金），因为发生“5+0”的概率比发生 “4+1”的概率更低。为什么同样都是6个里中5个，概率会有如此差别？瞧，奖金可是有着100倍的差距呢！那么发生“4+1”的概率真的比发生“5+0”的概率高100倍吗？
其实算出每种情况的概率并不难。高中数学课教过“排列组合”的概念，这里需要的是“组合”。举个例子：假设你要从1到5选出3个数，有多少种不同的选法？用最基本的枚举法，我们就可以列出所有的可能性：
枚举法告诉我们有10种不同的选法。但如果使用“组合”的概念和公式，我们能更快得到正确答案。组合计算的是不同选法的数量，例如在5个数中任选3个数，就是“5选3”，可以在高括号里上面写5、下面写3，比如这样：
具体的算法，则需要用到阶乘的概念。“n的阶乘”，写成“n!”，整数n后面跟一个感叹号，代表将n个不同的物品排成一排的排列方法的数量，算法公式是：
即n!等于从整数n开始逐一递减至1，并将所有的整数乘起来。举个例子，如果你想看看有多少种方法排列1到3，答案是3!，可以理解为第一个位置有3种可能，第二个位置有2种可能（因为第一个位置已经放好了一个数字），第三个位置只有1种可能，于是排列方法总数为 3×2×1 = 6 = 3!。
然而，如果问题是如何从1到3选3个数，即“3选3”，这就从排列问题变成了组合问题。组合和排列的区别在于：排列考虑顺序，而组合不考虑。所以如果要将1到3排起来，顺序有意义，答案是3!；但如果只是要将1到3组合起来，顺序没有意义，我们应该将顺序除去，答案是3!÷3!，除号就是不考虑顺序的算法。
之前的5个数任选3个数的组合问题，等同于先将5个数排成一排，然后将排好的5个数分成两组：第一组3个数，第二组2个数。一旦分好组，第一组的3个数有3!种排法，第二组的2个数有2!种排法。因为组合不考虑顺序，我们需要除去3!和(5-3)!，于是就有了下面的公式，最终也得出10种选法，与枚举法的结果相同。
若是有个简单的彩票游戏，规则就是5个数里选3个，全选对了就中奖，那你买中一张彩票的概率就是1/10，因为“5选3”有10种选法，而且每种选法的可能性一样大。
讲到这，你可能已经发现这个“5选3”和Mega Millions的玩法很类似。只是在Mega Millions中，头5个数字要从1到70当中选，就是“70选5”，也就是一共12103014种不同的选法。而最后1个数字从1到25当中选，那么就是“25选1”，也就是25种不同的选法。
回到“5+0”的概率与“4+1”的概率相比较的问题。“5+0”有两部分。第一部分是70选5的时候5个全中，即最后开奖的5个数与你选的完全吻合，也意味着开奖没选的65个数你一个都没选。这一部分的概率为：
第二部分是25选1的时候没中，即最后开奖的1个数你没选，也意味着开奖没选的24个数你选了一个。这一部分的概率为：
最后，这两部分共同决定你得到“5+0”的概率，我们要把这两部分乘起来，得到：
这表示得到“5+0”的概率接近0.00000008。而用同样的计算方式得出，买中“4+1”的概率大约为0.000001，是“5+0”概率的大约13.5倍，与100倍的奖金差相差甚远……不知是“5+0”的奖金被好心地提高了，还是“4+1”的奖金被故意降低了。
然后我们来看看买Mega Millions是否是好的投资。这里需要引入一个期望回报的概念，即奖金乘以概率，如下表所示：
因为头奖金额一般未知，所以先考虑其他已知奖金的期望回报，总和是0.2286273，即你每花2美金买一张彩票，你的期望回报是0.23美金，赔本生意！不过，当Mega Millions的头奖涨到16亿美金的10月23日，你的总期望回报可以达到5.516566，相当可观！只可惜，你能中到头奖的概率微乎其微：大约0.000000003，即每3亿张中一张。而且，若是有多人选中，你还需要和别人平分……不仅如此，中奖者最后可是需要交纳高额的税金哒！所以彩票最终富的是政府财政啊！
最后，我们来介绍一下计算不同中奖类别的概率所服从的概率分布，即超几何分布。比如总共有N个球，其中K个为红色，（N-K）个位蓝色，现在任意抽取n个球，其中有k个红球的概率就服从超几何分布，其概率质量函数为：
是不是看起来很眼熟呢！再回头看看一次头5个全中的概率：
统计学版惊悚片告诉我们：小赌怡情，但请不要妄想能靠彩票发大财，还是脚踏实地赚钱养家比较靠谱啊。
来源：新原理研究所
作者：璟子（美国瓦萨学院助理教授）
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