四、解题与思维训练的原则与要点
1.系统性与实用性
（1）完备自洽；（2）层次分明；（3）循序渐进；（4）可操作；（5）易掌握。
拙著《中考数学思维方法与解题策略》一书总结了一套完整的方法系统，分为四个层次：原则（适用于一切问题）－策略（适用于一般问题）－方法（适用于一类问题）－模型（适用于具体问题）。这个方法系统涵盖中考数学的所有类型问题，系统化结构化的知识和方法有利于理解、记忆和提取。
知识学习和思维训练都要循序渐进，最好要三年整体规划，提倡带班要从初一带到初三，这样可以按照统一的方案进行系统的教学和训练，才能取得好的效果。北京著名特级教师孙维刚老师搞教学实验是从初一带到高三，他在二三流生源质量的情况一个班40人有20多人考进清华北大。我最近连续带初三，就发现中途接班存在很大问题，学生已经形成的思维模式和行为习惯短时间内很难改变。
例如我们对旋转变换这部分内容的教学，从初一到初三都要在各自的水平层次把相关内容讲到位，练到位，步步为营螺旋式上升，最终才能牢固掌握。
2.问题引导与因材施教
（1）以问促思；（2）逐步引导；（3）风格匹配；（4）针对补缺。
用问题促发学生思考，增大课堂教学的思维容量。问题要有层次，从具体到抽象，从经验到规律，逐步引导学生提升思维水平。
经常问学生的问题：
1.题目已知什么求什么？
2.问题的突破点在哪里？
3.这是什么类型的问题？
4.可以用哪个知识模型？
5.可以用哪种策略方法？
通过对这些问题的思考与回答，可以逐步培养学生的思维深度，训练抽象概括能力，知识的抽象表征有利于更好地迁移。
学生的思维风格可以分为场依存型和场独立型，上图可以测试思维风格，如果能快速地从右图中找出左边的基本图形，就是场独立型，感到困难的是场依存型。两种风格有这些区别：
场依存型认知风格抽象能力分析能力较弱，对数学学习有一定的障碍，我们要帮他们从具体实例中抽象总结出一般的规律、方法，提升他们思维的理性水平。
举个例子看如何用问题引导和训练思维。
例.(2019*武汉)如图，AB是⊙O的直径，M、N是(异于A、B)上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从M运动到N时，则C、E两点的运动路径长的比是 .
（1）这是哪一类问题？（动点路径问题）
（2）常用策略方法是什么？（动中寻定：定点、定线、定长、定角)
图中有：定点D；定线AB；定角∠AEB。
（3）相关基本模型是什么？
定线对定角⇒圆弧
这样从具体问题到一般策略，再从一般策略到具体知识模型，可以训练学生的分析问题、解决问题的能力，同时培养抽象思维能力和数学建模能力。对于水平较好的学生还要让他们能够自己发现问题、提出问题，再进一步分析问题解决问题。
3.刻意训练与条件知识
（1）深度理解；（2）流程优化；（3）条件触发；（4）形成习惯。
怎样才能深度理解？大脑中建立的联结网络越多，理解就越深，要把每个信息尽可能地和其它信息建立各种联系。
幂的运算法则之间的内在联系：
再比如解题时通过问题情境与相关知识和方法广泛联系，尽量用多种思路解决问题。
例.四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD.
（1）由条件“BD平分∠ABC”及角平分线的对称性想到的构造方法：
（2）由结论“AD=CD”及旋转或全等想到的构造方法：
（3）由条件“∠A+∠C=180°”及四点共圆想到的构造方法：
这样可以让学生在大脑中形成丰富的神经联结，对相关知识方法的理解掌握更加深刻熟练。
我们想一个问题：普通人扔铅球与专业运动员扔铅球有什么区别？
普通人大多是动作简单仅仅利用了手臂的力量，并不能扔出最好的成绩。
专业运动员有一套规范动作，先扭腰、沉裆、压腿，然后弹腰、旋转、蹬腿，再抬臂发力，这一套动作实际上是将腿力、腰力、臂力、腕力集中在一起瞬间爆发，扔出的距离远远超过普通人！
这里说明一个科学道理：就是流程优化才能有效提高效果！
为了帮助学生更高效地解题，就要总结归纳解题的要点和流程，而且要在实战中加以训练。如：阅读审题的流程与要点、分析思路的流程与要点、突破关键的流程与要点、模型构造的流程与要点、解答书写的流程与要点、检验核查的流程与要点。
学生学到的知识都是有用的吗？显然不是。
很多学生学过的知识不会用；教过的方法不会用；题目一讲就懂，再做不会。
这样的知识叫“惰性知识”：不能被激活的知识。
另一种叫“条件化知识”（活性知识）：在合适的情境下能被自动激活的知识。
解题教学时要注意帮助学生建立条件与知识之间的关联，即知道在何种情况下运用何种知识（方法）。在解题训练的过程中要进行总结提炼归纳整理：知识背后的知识，也就是知识的应用场景。
我们通过例题来看学生感到最难的一类问题：几何构造类问题的解决。
总体来说在什么样的场景下需要构造新模型呢？
就是：图中条件分散，缺少联系，模型不完整，思路不明朗。
其中运动变换是构造图形的一种重要方法，具体再为5种方式，条件特征分别是：
共点等线－旋转；
共线等角－翻折；
定向拼接－平移；
线段和差－截补；
比例线段－缩放。
再举一例：(2019·广西)如图，AB与CD相交于点O，AB=CD，∠AOC=60°，∠ACD+∠ABD=210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为 ．
显然题中图形条件分散，无有效模型进行联系。
具体看线段AB与CD有相等关系且夹角为60度，若把两条线段拼接可得等边三角形，且能使所求AB，AC，BD三条线段转化到同一个三角形中。如下图，平移AB至DE，得等边△DCE，平行四边形ABDE，推得∠CAE=90°，即可得AB，AC，BD三线段关系。
同样方式，亦可把CD平移与AB拼成等边三角形。如下图：
4.专题练习与综合练习
专题练习相当于分解动作，综合练习是整体动作，实战能力必须在综合练习中才能更好地形成。
（1）感知要点；（2）强化练习；（3）变式练习；（4）实战应用
一种解题方法要通过一定数量的强化练习和变式练习才能熟练掌握，我们以其中一种方法专题为例。
例.化折为直求最值：(2016·内江)如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____．
按下图作法，翻折DC、DE能化直吗？
注意上图中点D1、D2不是完全自由运动的点，当D1确定时，D2也确定，三条线段无法共线。
如下图，翻折线段CE、CD，当三条线段C1E、DE、DC2共线时取得△CDE周长最小值，利用勾股定理求C1C2即可。
总结化折为直的核心：连续折线中的定点(线)放在两端，动点放在中间，所以优先翻折定点(线)。
变式1：如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内任意一点，且OP=7，点E和点F
分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PEF周长的最小值是 .
把点P沿OA、OB翻折可得到定长线段OP1、OP2，如下图，求P1P2的长即可。
变式2.(2017·南通)如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为 .
图中EF、FG居于BC的同侧，翻折其中一条使两条线段位于异侧以便化折为直，如下图：
变式3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小．
四边形APQE周长最小即为求AP+EQ最小，先翻折EQ至E'Q同侧化异侧，再平移E'Q至FP使之成为连续折线，最终转化为求定点A、F之间的距离。
变式4.某货运场为一个矩形场地ABCD，AB=500米，AD=800米，顶点A、D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B、C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA、PD、PM，修建专用车道的总长度最小是多少？
图中三条线段PA、PD、PM不是连续折线，把△ADP旋转60度即可转化为求定点E与定线BC之间的最小路径长，即为垂线段EH。
解题要从知其常到知其变，从识其形到识其神。化折为直的核心是把所求线段和转化为定点(线)间的连续折线，可通过翻折、平移、旋转等变换方式构造合适的图形以实现此目标。
5.精准训练与有效纠错
（1）细化考点；（2）仿真模拟；（3）分析错因；（4）现场纠正
每个地区的中考命题一般都有一些规律和特点，老师根据本地考点精准命题，试题内容题型难度的分布要接近真实试卷，这样才能训练学生把握好整个考试的节奏，哪些地方简单哪些地方有难度，哪些地方该快该慢，哪些地方要注意陷井，哪些地方容易失分，并且做好试卷分析，对一些解题习惯和心态的问题要现场纠正、反复纠正。
本地中考试卷考点细目表：
学生试卷分析表：
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