高考数学MOOK | 转化思想巧解空间位置关系和空间距离

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2017 VOL.29

胡磊

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空间几何体的线线、线面、面面距离及位置关系的证明与判断在高考中具有特殊地位，能够充分考查考生的空间想象能力，故线面、面面关系的证明与判断是高考必考内容，可能出现在客观题中，也可能出现在解答题中，并且多数以多面体为载体考查. 空间距离的求解近几年有弱化趋势，但是我们复习中也要积极对待，掌握解决距离问题的几种方法.

一

空间位置关系的证明

空间的位置关系是高考必考内容，主要考查证明线线、线面、面面平行或垂直；转化思想是证明线面关系的关键，如平行问题中的转化如图所示：

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线线位置关系的判定

【点评】本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，考查空间思维能力.若证明平行位置关系需要寻找线线平行，常见的模型有：

（1）利用题目中的中点条件，结合中位线，得到线与线平行；

（2）利用成比例线段条件，构造线与线平行的图形;

（3）利用平行四边形的性质证明平行.

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线面、面面位置关系的证明

【分析】1.证明直线与平面平行常用方法有两种：（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行. 根据已知条件找不到现成的线线平行关系怎么办？添加辅助线结合判定定理证明.

2.证明面面垂直可通过证明线面垂直得到.

【为你支招】线与线、线与面的位置关系的一般思考规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是“发展已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”，这是分析问题和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知与未知的桥梁，但必须注意的是，辅助线和辅助面要作的有理有据，不能随意去作，并且辅助线和辅助面具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断.

【注意】在证明平行与垂直关系时，一定要注意所用定理（推理）的条件，要逐个说明，使论证严谨、叙述合理．如证明线面平行要说明“平面外的一条直线”、“平面内的一条直线”、“平行”这三个条件，缺一不可.

二

空间距离求解

【点评】本题考查点到面的距离，线面关系的证明，其中建立适当的空间直角坐标系，将问题转化为向量的夹角及向量的长度计算是解答本题的关键．

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