量子宇宙（二）：小超空间的惠勒

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量子宇宙（一）中我们展示了作为规范体系的弗里德曼宇宙，在这个模型的相空间中，坐标和动量不是相互独立的，而是受到约束 $H=0$ 的限制，这个约束方程也是通常宇宙学里的弗里德曼方程（不知道你们看出来了嘛？）。

这一节我们将展示对这一规范体系的量子化处理。为了能求解量子运动方程，我们进行小超空间的处理。然而，还是为了尽可能的简化问题，并达到我们理想的 “shut up and calculate”，我不准备陈述超空间的概念（我相信所有看过多啦A梦的小朋友们都应该知道超空间），也不展示超空间无限维的特性以及过渡到小超空间求解的必要，而直接引入一个二维的空间，空间的“坐标”分别为：标识宇宙的变量 $\alpha$ 以及空间均匀的标量场 $\phi$。然后告诉你这两个“坐标”展成的空间就是我们这里的“小超空间”。

1、狄拉克量子化处理约束体系

首先，还是来看 $1 1$ 维相对论粒子的这个情况。经过我们上一节简单的计算，我们得了约束方程
\[
H=p_0^2-p_1^2-m^2=0
\]
这就是质能方程，你也可以称他为质能约束，我们的目的就是要对这个体系进行正则量子化处理。其实不用计算，我们就知道，相对论粒子（玻色）的量子运动方程就是 Klein-Gordon 方程。

现在我们来进行实际的操作，向你展示它的确如此。由于我们处理的是规范体系，所以第一直觉是引入规范条件来消除非物理自由度，这个方案可行。但是我们要用另一个方案，直接用对应法则将物理量提升为算符，
\[
p_0\to -i\hbar \frac{\partial }{\partial x^0},\quad
p_1\to -i\hbar \frac{\partial }{\partial x^1}
\]
然后用约束“算符”筛选出物理波函数，即
\[
0=\hat H\psi=(\hbar^2\partial^2_0-\hbar^2\partial_1^2 m^2)\psi
\]
这就是 Klein-Gordon 方程吧？正如你们看到的，我们用狄拉克处理约束体系的方法导出了相对论规范体系的量子运动方程。至于引入规范条件来处理的方案，我们先不介绍，直接跳入到宇宙学的部分。


2、弗里德曼宇宙的 WDW 方程

上一节中，我们已经得到了约束方程
\[
0=H'=-\frac{1}{M^2 } \frac{p_\alpha^2}{2}
\frac{p_\phi^2}{2}
-e^{6\alpha}\left(
\frac{M^2}{2} k e^{-2\alpha}
- \Lambda
- V\right)
\]
那么根据狄拉克的方案，我们同样可以得到量子宇宙的运动方程。忽略算符的排序问题，我们有
\[
\left[\frac{\hbar^2}{2M^2 } \partial^2_\alpha
- \frac{\hbar^2 }{2}\partial^2_\phi
e^{6\alpha}\left(
\frac{M^2}{2} k e^{-2\alpha}
- \Lambda
- V\right)\right]\Psi(\alpha,\phi)=0
\]
这就是两个自由度超小空间的惠勒-德维特（WDW）方程。有些人习惯用宇宙因子 $a$ 的表示，而非 $\alpha$。这两个变量之间的关系为 $a=\exp(\alpha)$，两种情况下的哈勃变量 $h$ 分别为（因为我们用 $H$ 标识哈密顿量，所以这里用 $h$ 标识哈勃变量）：
\[
h=\frac{\dot a}{a}=\dot \alpha
\]
需要强调的是，两个变量的变化范围不同，$\alpha$ 跑遍整个实数轴，而 $a$ 只是实数的右半轴。WDW 方程在 $a$ 的表示下作为练习各位自己推导一下吧。


3、简单情况的求解

对于一般的情况，我们的 WDW 方程是没有解析解的，这里讨论两个简单的情况。

A：宇宙常数驱动，且 $k=0$ （即真空能驱动的平直宇宙）。WDW 简化为
\[
\left[\frac{\hbar^2}{2M^2 } \partial^2_\alpha
-e^{6\alpha} \Lambda
\right]\Psi(\alpha)=0
\]
方程的解是显而易见的，即 Bessel 函数。
\[
\Psi(\alpha)=c_1 I_0\left(\frac{M \sqrt{2 \Lambda }}{3 \hbar }e^{3 \alpha }\right)
c_2 K_0\left(\frac{M \sqrt{2 \Lambda }}{3 \hbar }e^{3 \alpha }\right)
\]
补上边界条件：$\Psi\to 0$ 当 $\alpha\to\infty$，再考虑到 Bessel 函数的渐进行为，我们得到真空驱动宇宙的波函数
\[
\Psi(\alpha)=c_2 K_0\left(\frac{M \sqrt{2 \Lambda }}{3 \hbar }e^{3 \alpha }\right)
\]
我们这里之所以舍去了 $I_0$ 是因为，当 $\alpha\to\infty$ 它是发散的，因而会破坏算符幺正性，比如动量算符 $\hat p_\alpha=-i\hbar\partial_\alpha$。请回顾基础量子力学里证明动量算符幺正性的条件——经过部分积分后，要求波函数在无穷远为零！否则就不能保证幺正性。

B：标量场驱动，$k=0$，$\Lambda=0$，且标量场的势函数为正常数 $V=V_0$。WDW 方程为
\[
\left[\frac{\hbar^2}{2M^2 } \partial^2_\alpha
- \frac{\hbar^2 }{2}\partial^2_\phi
- V_0e^{6\alpha}
\right]\Psi(\alpha,\phi)=0
\]
分离变量之后 $\Psi(\alpha,\phi)=\psi1(\alpha)\psi2(\phi)$，方程可求解
\[
\psi1(\alpha)=c_1 I_{i \nu }\left(\frac{M \sqrt{2 V_0}}{3 \hbar } e^{3 \alpha }\right)
c_2 K_{i \nu }\left(\frac{M \sqrt{2 V_0}}{3 \hbar } e^{3 \alpha }\right)
\]
这里 $\nu =\sqrt{2} M \left| p\right| /3 \hbar $。运用同样的边界条件，可舍去 $I_{i\nu}(\cdot)$ 支。标量场的部分为。
\[
\psi2(\phi)=c_3 \sin \left(\frac{\sqrt{2} p \phi }{\hbar }\right) c_4 \cos \left(\frac{\sqrt{2} p \phi }{\hbar }\right)
\]