二次函数是中考的热点与难点,经常作为压轴题出现,会与平行四边形(矩形、菱形、正方形)或相似三角形想结合考察,同学们需要掌握二次函数的图像与性质,按照题目就可以做出来了!对于一些开放性的题目,同学们要做好分类讨论哦!
(2016·山东省滨州市·14分)如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
本题考点
二次函数综合题,平行四边形的相关性质
题目分析
(1)分别令y=0,x=0,即可解决问题.
(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,易知点E坐标
(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论,分别求解即可解决问题.
题目解析
解:
(1)令y=0得
∴x2+2x﹣8=0,
x=﹣4或2,
∴点A坐标(2,0),点B坐标(﹣4,0),
令x=0,得y=2,∴点C坐标(0,2).
(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,
∵AB=EF=6,对称轴x=﹣1,
∴点E的横坐标为﹣7或5,
∴点E坐标
此时点
∴以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=
(3)如图所示,
①当C为顶点时,
CM1=CA,CM2=CA,作M1N⊥OC于N,
在RT△CM1N中,
∴点M1坐标
②当M3为顶点时,∵直线AC解析式为y=﹣x+1,
线段AC的垂直平分线为y=x,
∴点M3坐标为(﹣1,﹣1).
③当点A为顶点的等腰三角形不存在.
综上所述点M坐标为(﹣1,﹣1)或
本题点评
本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法,学会分类讨论的思想,属于中考压轴题.
知识总结:反比例函数 | 有理数 | 一次函数 | 全等三角形 | 轴对称 | 二次函数 | 勾股定理 | 因式分解 | 辅助线 | 四边形 | 锐角三角函数 | 一元一次方程 | 相似三角形
学习方法:数学难题 | 错题本 | 晚自习 | 做题慢 | 学习习惯 | 审题 | 初三安排 | 记笔记 | 粗心 | 题海 | 学习问题
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