备战中考 | 新初三第二课：解一元二次方程之一因式分解法

数姐说：

今天，数姐开始推送新初三的知识了，初三就要进入紧张的学习状态，大家不要气馁，暑期备战，赢在起跑线！今天开始教给大家如何解一元二次方程，解一元二次方程有很多种方法，今天带来的是因式分解法，大家加油！

导学探究

 1.“若(x+2)(x-5)=0，则x+2=0或x-5=0”. 这句话正确吗?

 2.把一元二次方程x²-3x=0左边分解因式，得到的方程是___________，因此方程可化为两个一元一次方程:____________________________，解得x₁=_______,x₂ = _____.

3.以上解一元二次方程的方法是如何使一元二次方程转化为一元一次方程的?请给这种解一元二次方程的方法下一个定义.

4.回忆:什么叫因式分解?我们学过的因式分解的方法有哪几种?

  

归纳梳理

 1.解一元二次方程时，先因式分解使方程化为两个_________的乘积等于0的形式，再令这两个一次式分别等于_______，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

 2.用因式分解法解一元二次方程的根据是由“ab=0得______或_________”，实现“二次降为一次”.

3.因式分解法解一元二次方程的步骤为:

 (1)将方程的右边化为____________;

(2)把方程的左边分解为___________

 (3)令左边每个因式为_______，得到两个_______方程;

(4)解这两个一元一次方程得原方程的解.

典例探究

1

用因式分解法解一元二次方程

【例1】用因式分解法解方程：

（1）2(2x－1)²=(1－2x)；（2）4(y＋2)²=(y－3)².

总结：

用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论.

因式分解法解一元二次方程的步骤：

（1）把方程的右边化为0；

（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；

（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

练1（2014秋·赵县期末）用因式分解法解方程：x²﹣6x+9=（5﹣2x）²

2

用换元法解一元二次方程

【例2】（2014·山西校级模拟）解方程（x﹣1）²﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y²﹣5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x₁=2，x₂=5．利用这种方法求方程（2x+5）²﹣4（2x+5）+3=0的解．

总结：

换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.

在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.

解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．

练2（2015·呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．

练3 解方程：（x²-3）²-5(3-x²)+4=0.

3

灵活选用方法解一元二次方程

【例3】（2014秋·漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：

（1）x²﹣5x+1=0；

（2）（3）2x²﹣2√2x﹣5=0；

（2）3（x﹣2）²=x（x﹣2）；

（4）（y+2）²=（3y﹣1）²．

总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.

（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax²+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.

（2）若常数项为0，即形如ax²+bx=0的形式，应选用因式分解法.

（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax²+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.

（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的. 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.

练4（2015春·无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程.

（1）x²﹣5x﹣6=0；

（2）3x²﹣4x﹣1=0；

（3）x（x﹣1）=3﹣3x；

（4）x²﹣2√2x+1=0．

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