高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（19）

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小数老师说：

一周的时间过得好快，这周又开始更新文数啦~文科生看过来

小数老师整理了上周评论区同学们的数据，决定这周开始更新全国卷的数学模拟题，加油

（2017 · 全国I卷模拟文数 · 21）

21．已知函数f（x）=x²+（1﹣x）e^x（e为自然对数的底数），g（x）=x﹣（1+a）lnx﹣，a＜1．

（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（2）讨论函数g（x）的极小值；

（3）若对任意的x₁∈[﹣1，0]，总存在x₂∈[e，3]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数a的取值范围

先自己思考

本题考点

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程

题目分析

（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；

（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；

（3）问题等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，分别求出f（x），g（x）的极小值，得到关于a的不等式，解出即可．

题目解析

解：（1）∵f′（x）=x（1﹣e^x），

∴f′（1）=1﹣e，即切线的斜率是1﹣e，

又f（1）=，则切点坐标是（1，），

故f（x）在x=1处的切线方程是y﹣=（1﹣e）（x﹣1），

即2（e﹣1）x+2y﹣2e+1=0；

（2）∵g′（x）==，a＜1，

函数g（x）的定义域是{x|x＞0}，

∴0＜a＜1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，

令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，

∴g（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增，

∴g（x）的极小值为g（1）=1﹣a，

a≤0时，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

∴g（x）的极小值是g（1）=1﹣a，

综上，函数g（x）的极小值是1﹣a；

（3）若对任意的x₁∈[﹣1，0]，总存在x₂∈[e，3]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，

等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，

x∈[﹣1，0]时，f′（x）=x（1﹣e^x）≤0，

当且仅当x=0时不等式取“=”，

∴f（x）在[﹣1，0]上单调递减，

∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是f（0）=1，

由（2）得，g（x）在[e，3]递减，

∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e﹣（a+1）﹣，

故1＞e﹣（a+1）﹣，解得：a＞，

又a＜1，

故a∈（，1）．

本题点评

本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．