高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（21）

本周更新文数，下周更新理数

小数老师说：

今天小数老师带来的是全国文数的模拟题，今天是一道立体几何问题，这是很多同学的难点，大家要加油~

（2017 · 全国I卷模拟文数 · 19）

如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EF∥AC，AD=2，EA=ED=EF=．

（Ⅰ）求证：AD⊥BE；

（Ⅱ）若BE=，求三棱锥F﹣BCD的体积．

先自己思考

本题考点

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质

题目分析

解法一：（Ⅰ）取AD中点O，连结EO，BO．

证明EO⊥AD．BO⊥AD．说明AD⊥平面BEO，即可证明AD⊥BE．

（Ⅱ）证明EO⊥OB，然后证明EO⊥平面ABCD．通过V_F﹣BCD=V_E﹣BCD求解即可．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）证明EO⊥OB，利用AD⊥平面EOB，以及V_F﹣BCD=V_E﹣BCD=V_E﹣ABD求解即可．

题目解析

解法一：（Ⅰ）如图，取AD中点O，连结EO，BO．

∵EA=ED，∴EO⊥AD．…∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD，

又∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BA=BD，

∴BO⊥AD．∵BO∩EO=O，BO⊂平面BEO，EO⊂平面BEO，∴AD⊥平面BEO，

∵BE⊂平面BEO，∴AD⊥BE．

（Ⅱ）在△EAD中，

，AD=2，

∴

，

∵△ABD为等边三角形，∴AB=BD=AD=2，∴

．

又

，∴EO²+OB²=BE²，∴EO⊥OB，

∵AD∩OB=O，AD⊂平面ABCD，BO⊂平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD．

又

，

∴

又∵EF∥AC，

∴V_F﹣BCD=V_E﹣BCD=

．

解法二：（Ⅱ）在△EAD中，

，AD=2，

∴

，

∵△ABD为等边三角形，

∴AB=BD=AD=2，∴

．

又

，∴EO²+OB²=BE²，∴EO⊥OB，

所以

．

又S_△BCD=S_△ABD，EF∥AC，AD⊥平面EOB，

∴V_F﹣BCD=V_E﹣BCD=V_E﹣ABD=

．

本题点评

_{本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等}