【每日一题】多边形的内角和和外角和

我们知道，过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把三角形分割成（n-2）个三角形．
（1）请以三角形、四边形、五边形为切入点研究，找出规律，如图①；
（2）如图②，在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？
（3）想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理？

解析：

试题分析：

（1）根据图形分别确定出三角形的个数即可；
（2）根据三角形的个数与边数的规律写出即可；
（3）图①，多边形的内角和等于所有三角形的内角和，图②多边形的内角和等于所有三角形的内角和减去一个平角的度数．

试题解析：

（1）三角形时只有一个三角形，
四边形时，有2个三角形，
五边形时，有3个三角形，
n边形时，有（n-2）个三角形；

（2）图②共分成了（n-1）个三角形；

（3）图①，多边形的内角和等于这（n-2）个三角形的内角和，为（n-2）·180°，
图②，多边形的内角和等于这（n-1）个三角形的内角和再减去以点P为顶点的平角的度数，为（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°．

编辑：木木

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