高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（39）

 本周更新理数，下周更新文数

小数老师说：

看完今天的几何知识，再来做到几何题吧！

（全国I卷模拟 ·理数· 19）

19．已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．

（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．

先自己思考

本题考点

平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

题目分析

（I）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．

（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为，即可求a：b的值．

题目解析

解：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，

又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，

因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．

（II）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，

因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角

又，且

从而

∴

所以9a²=16b²，即

本题点评

本题考查几何证明和二面角问题