中考加油 | 每日一道中考题，助力中考得高分（47）

数姐说：

今天带来一道抛物线

25．如图，已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线的解析式

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S_△ADP=S_△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标．

（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

先自己思考

本题考点

二次函数综合题

题目分析

（1）首先求出点B的坐标和m的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；

（3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．

题目解析

解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上

∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，

所以，点B（﹣2，3），

又∵抛物线经过原点O，

∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx，

∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上，

∴，

解得：．

∴抛物线的解析式为y=x²﹣x； 

（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，

∴P（x， x²﹣x），

若S_△ADP=S_△ADC，

∵S_△ADC=

AD·OC，S_△ADP=

AD·|y|，

又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，

∴C（0，﹣1），

∴OC=1，

∴|x²﹣x|=1，即x²﹣x=1，或x²﹣x=﹣1，

解得：x₁=2+2

，x₂=2﹣2

，x₃=x₄=2，

∴点P的坐标为 P₁（2+2

，1）P₂=（2﹣2

，1），P₃）2，1）；

 

（3）结论：存在．

∵抛物线的解析式为y=x²﹣x，

∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；

点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），

∴AE=

．

如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：

①菱形AEM₁Q₁．

∵此时EM₁=AE=

，

∴M₁F=DF﹣DE﹣DM₁=4﹣

，

∴t₁=4﹣

；

②菱形AEOM₂．

∵此时DM₂=DE=1，

∴M₂F=DF+DM₂=6，

∴t₂=6；

③菱形AEM₃Q₃．

∵此时EM₃=AE=

，

∴DM₃=EM₃﹣DE=

﹣1，

∴M₃F=DM₃+DF=（

﹣1）+5=4+

，

∴t₃=4+

；

④菱形AM₄EQ₄．

此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M₄Q₄交于点H，则AE⊥M₄Q₄，

∵易知△AED∽△M₄EH，

∴

=

，即

=

，得M₄E=

，

∴DM₄=M₄E﹣DE=

﹣1=

，

∴M₄F=DM₄+DF=

+5=

，

∴t₄=

．

综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t₁=4﹣

，t₂=6，t₃=4+

，t₄=

．

本题点评

本题考查二次函数的综合应用，属于中档题