在Joseph Polchinski的著作《弦理论》一书中有这么一个等式(下图红色框框内):
Volume I: String Theory. (? Joseph Polchinski)。Joseph Polchinski是著名的弦理论家,在2012年的时候和他的同事提出了“黑洞火墙理论”。
这个等式表述的是所有自然数的和1 + 2 + 3 + 4 + ...... = ?1/12。
是不是有些不敢相信?将正整数无穷相加后,竟然得到了一个负数!
首先,无限个自然数相加的和并不等于 ?1/12。这很容易被说服:
......
等等。当 n 越来越大时,S??也就越来越大。举个例子,当 n=1000 时,就会得到
当 n=100,000 时,得到
这也是数学家所说的
的和发散至无限大。或简单的说,这个级数的和等于无限大。
那么,?1/12到底是怎么来的?这个错误的结果其实可以追溯回1913年著名的印度数学家拉马努金的工作(可查看拉马努金求和)。但是拉马努金知道自己在做什么,并且他是有理由的把它写下来。当时他正在研究欧拉??函数。要理解这是什么意思,首先考虑无限和
我们可以把它写成
现在,这个和就不再发散了。如果取一序列的部分和:
......
你最终得到的结果会无限接近(但不超过)π2/6 (= 1.644934...), 数学家说该和收敛至 π2/6,或简单的说这个无限和等于 π2/6。
现在,如果把分母中自然数的平方改成其它的幂会发生什么?
只要 x > 1 ,S(x) 就会收敛至一个有限的值。S(x) 被称作函数,而欧拉??函数则是得名于17世纪的大数学家莱昂哈德·欧拉。欧拉计算出 S(2)= π2/6 的时候才28岁,他因此一举成名。
到目前为止看起来一切顺利。但是,如果取x的值小于1会发生什么?比如,x = ?1?
我们就回到了原点,我们知道这个无穷级数是发散的。对于所有 x 小于或等于1的值都会发生同样的情况:无穷级数是发散的。想要得到一个有限的值就必须使用数学中的复分析。
1859年德国的数学家波恩哈德·黎曼发表了题为“在给定大小之下的素数个数”的论文。他找到了一种方法,即使 x 的值小于或等于1,也会得到一个有限的值。换句话说,他定义了一个新的函数,称为 ??(x),因此对于 x > 1,我们有
当 x ≤ 1时,函数 ??(x) 被很好的定义并且有个有限的值。这个拓展的方法称作解析延拓,这个新的函数被称为黎曼??函数。
现在,我们有一个新的函数 ??(x),当 x > 1 时,它与欧拉??函数 S(x) 相吻合。但是,当你把 x ≤ 1 的值代入 ?? 函数时,就会得到一个有限的值。把 x = ?1 代入 ?? 函数,就会得到:
如果你错误的认为当 x = ?1 时,??(x) = S(x),你就会(错误的)得到
这是其中一个使拉马努金的神秘表达式看起来有意义的方法。
注:在黎曼1895年发表的论文中,他提出了关于 ??(x) 性质的一个猜想。黎曼的这个猜想尚未被证明,它是基础数学最重要的课题之一。大卫希尔伯特于1900年提出的23个问题,以及克雷数学研究所于2000年公布的千禧年大奖难题都收录了这一课题。想要赢取100万美金的读者赶紧对“黎曼假设”发起挑战吧!
那么这个错误的结果为什么会出现在物理教科书中?这也是事情变的有意思的地方。如果你把一对金属板相互平行地放置在真空中,并且让它们靠近。根据经典物理,它们之间不会有任何力的作用。但是经典物理并不能解释微观世界的种种奇怪效应。这个时候你就需要量子物理,在量子世界中有许多无法用经典眼光去看待的问题。其中一个就是真空并不空,而且非常活跃,在真空中会有许多虚粒子不断地出现和消失。这个活动就会使真空存在所谓的零点能:一个物理系统所拥有的最低能量永远不为零。
当你尝试利用量子物理计算两个平行金属板之间的总能量密度时,你就需要知道无限和
这个无限和也是当你把 x = ?3 代入欧拉的??函数时会得到的:
不幸的是,因为这个无穷级数会发散(发散的比S(?1)还快),这就意味着会有无限大的能量密度。显然,这不科学。但是,如果你厚脸皮的假设这个无穷级数等于黎曼??函数,而不是欧拉??函数,这个时候当 x = ?3 时会得到什么?没错,你会得到一个有限的能量密度。这意味着在平行金属板之间存在着很小的吸引力,这显然听起来也很荒谬,因为经典物理认为它们之间不存在力的作用。
卡西米效应。(? Wikipedia)
然而,实验是一切知识的试金石!当物理学家对此做实验的时候,的确发现平行金属板之间存在很小的力,会使平板被拉到一切,而它对应的能量密度正好等于 ??(?3)!!!
这个令人惊喜的物理结果就是所谓的卡西米效应。
量子物理告诉我们能量密度必须是
这很荒谬,但是实验却告诉我们如果你(错误的)把这个无限和当做??函数,并计算 ??(?3) 的值,你就会得到正确的答案。看起来,自然似乎更喜欢这个结果。(在一维情形的卡西米效应,而不是三维时,那么我们要计算的能量密度就是 ??(?1) 而不是 ??(?3)。)
1 + 2 + 3 + 4 + ...... = ?1/12的这个结果被广泛的应用在物理学当中。比如弦理论认为空间维度为25维,以及超弦理论认为空间维度为9维,都是基于这个结果从而推导出来的。
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