动力弹塑性分析是结构分析技术发展的重要成果之一，也是数值仿真技术在工程领域的典型应用，目前已成为性能化抗震设计方法中的重要组成部分。但是由于其涉及到的理论知识、技术方法以及软件应用等均不同于传统的静力或者线性分析方法，一线工程师通常难以了解掌握。本文以数值仿真技术特征为切入点，从数值模型建立、数值分析方法、分析结果解读等几方面，探讨了动力弹塑性分析方法及其在结构设计中的应用，并以ABAQUS软件平台为例，介绍了结构整体弹塑性数值模型的建立方法，以及结构整体与构件分析结果的输出与解读。
0 引言
1 动力弹塑性分析的概念
1.1 结构分析技术的发展
图1描述了结构分析技术在分析对象规模、维度、模型特征和分析性能等方面取得的进步以及可能的发展方向，而其中动力弹塑性分析则是结构分析技术发展的重要成果之一。
分析对象规模
分析维度
模型特征
分析性能
多层简单建筑
二维平面
等效剪切层模型、等效弯曲-剪切层模型
静力弹性行为
↓
↓
↓
↓
超高层、复杂建筑
三维立体
塑性铰模型、宏模型
静力或动力弹塑性行为
↓
↓
↓
↓
基础—上部结构整体
多尺度
纤维模型、分层壳模型
动力倒塌行为
图1结构分析技术发展趋势
1.2 数值仿真技术的应用
在工程领域的应用中，数值仿真技术主要指以计算机为手段，通过对实际问题的分析建立数值模型，结合数值计算方法来获取研究结果，并且以云图、图表、动画等直观的方式展现，达到对工程问题或者物理问题进行科学研究的目的，其中也包括了动力弹塑性分析在抗震设计中的应用。
商业软件在工程领域的应用 表1
结构专业
建筑专业
工程问题
仿真软件
工程问题
仿真软件
动力弹塑性分析
ABAQUS
PERFORM-3D
建筑能耗
PHOENICS
多尺度分析
ANSYS
Midas Gen
声、光环境
RAYNOISE
数值风洞模拟
FLUENT/CFX
烟雾扩散
FDS
连续倒塌模拟
MSC.MARC
Simulex
1.3 动力弹塑性分析的基本要素
动力弹塑性分析基本流程如图2所示。
（a）建立物理模型
（c）进行数值分析，得到分析结果
图2 动力弹塑性分析基本流程
动力弹塑性分析方法包括以下三个基本要素：1）建立结构的弹塑性模型及地震波的数值输入；2）数值积分运算分析；3）全过程响应输出。
从设计角度解释，静力或动力弹塑性分析都类似于一种“数值模拟试验”，尤其是动力弹塑性分析可在一定程度上仿真结构在地震波作用时段内的反应过程，可理解为一种“数字振动台试验”。表2总结了振动台试验、静力及动力弹塑性分析之间的共同点与差异。
结构弹塑性分析与振动台试验 表2
振动台试验
静力弹塑性分析
动力弹塑性分析
适当的模型比例
适当的模型精细化程度
（宏观构件模型、微观材料模型）
适当的模型材料
适当的材料应力-应变曲线或者截面、构件骨架曲线
适当的材料本构模型或者截面、构件的滞回模型
动力加载
静力加载
地震波输入
试验结果监测（位移，转角，应变，裂缝发展等）
分析结果监测（性能曲线及性能点，变形，材料应变，材料损伤，截面利用率）
分析结果监测（变形及残余变形，材料应变，材料损伤，截面利用率，能量平衡等）
而动力弹塑性分析方法与线性静力分析方法却有较大的不同，如表3所示。
线性静力分析与动力弹塑性分析特点对比 表3
分析方法
线性静力分析方法
动力弹塑性分析方法
材料假定
弹性模量，泊松比
更为真实的材料本构模型（如钢材双折线模型，混凝土三折线模型或者更复杂）
构件模拟
构件刚度不变
构件刚度变化（如混凝土损伤开裂导致构件刚度退化）
作用力
直接施加外力荷载
静载作用下直接输入地震波数据进行积分运算
非线性
简化方法考虑P-Δ效应
考虑材料非线性，几何非线性，边界非线性
工况组合
不同工况可以线性组合
必须累计重力作用对结构在地震作用下响应的影响
平衡方程
静力平衡方程：
动力平衡方程：
分析结果
工况组合结果直接用于结构设计
结构反应随时间变化，从变形角度，统计结构最大反应指导结构设计
注：
为刚度矩阵；
为阻尼矩阵；
为质量矩阵；
为荷载向量；
为节点位移向量；
为节点速度向量；
为节点加速度向量。
1.4 常用动力弹塑性分析软件对比
有多种商业软件可供在工程的动力弹塑性分析应用中选择。由于软件的计算原理及模型假定存在不同，在具体应用时，它们具有各自的特点。表4从数值模型建立、地震作用输入、数值分析方法等方面，总结了几种常用动力弹塑性分析软件的主要应用特点。
不同软件弹塑性应用特点比较 表4
计算软件
MIDAS Gen
PERFORM-3D
STRAT
ABAQUS
LS-DYNA
材料模型
采用软件自带的材料模型
自定义材料子程序
软件自带或者用户二次开发
梁柱
构件
塑性铰或者纤维单元
纤维单元
纤维单元
集中塑性铰或纤维模型
剪力墙构件
需要进行等代处理
单向或者双向纤维宏单元
面内分块纤维单元
非线性分层壳
非线性复合材料层模型壳单元
地震波激励
激励在质量点上
时间过程表现为基底不动
作为边界条件激励在支座上
数值
求解
隐式求解
较大的时间步长（10-2s）
显式求解
较小的时间步长（10-5~10-4s）
参考坐标系
采用固定在地面随地震波运动的移动坐标系，时程响应过程表现为基底不动
固定不动的惯性坐标系，时程响应过程表现为基底运动与地震波相同
2 数值模型
对动力弹塑性分析而言，数值模型包括结构行为特征模型的建立及地震动作用的数值输入。
2.1 恢复力模型的分类
结构动力弹塑性分析时，常采用力-变形关系来描述结构或构件的行为特征。恢复力模型是关于力与变形关系骨架曲线的数学模型。目前常用的恢复力模型有三种[4]：1）基于构件的模型：直接给出杆端力-杆端位移关系；2）基于截面的模型：通过有限元形函数，将杆端力-位移和截面力-变形关系联系起来；3）基于材料的模型：在基于截面的模型基础上进一步引入平截面假定，将截面力-位移关系和材料的应力-应变关系联系起来。三种恢复力模型的关系和比较如图3所示。
图3 基于构件、截面、材料的恢复力模型关系和比较
2.2 地震作用输入
动力弹塑性分析需要选择合适的地震波，输入地震加速度时程记录，采用地震动平衡方程并分析求解每个时刻的地震响应。其中地震波选用时应符合《建筑抗震设计规范》（GB 50010—2010） [5]（简称抗规）相关规定。
结构承受地震作用时，其运动方程如下式：
（1）（2）
即结构分别承受两种激励——地面加速度
和外力=
——的运动方程是相同的。
2.3 基于ABAQUS软件的数值模型
在ABAQUS软件中，梁柱等单元一般都采用内置的纤维梁单元直接模拟（图4）。对于单积分点纤维单元，单元长度的划分受塑性区长度限制。而显式分析的时间步长受单元长度影响，对于梁端、柱端，其划分长度接近截面高度，此时积分步长达到了10-5s量级。如采用集中塑性铰模型，则单元长度不再受限于塑性区。以LS-DYNA软件为例，对于梁、柱构件仅采用两个单元，就可以模拟跨中、端部塑性发展，此时积分步长可以达到10-4s量级。
图4ABAQUS整体有限元模型示意
剪力墙、楼板和巨柱等构件一般采用ABAQUS软件内置的壳元直接模拟。梁柱中的钢筋通过纤维梁共节点实现，墙板中的钢筋通过*Rebar Layer实现。
3 数值分析方法
动力弹塑性数值分析方法包括振型叠加法和直接积分法。
3.1 振型叠加法
当结构仅存在有限数量的非线性连接单元时，如隔震、减震结构中布置了一定数量的耗能构件，对于此类情况，可以采用快速非线性方法[8]（Fast Nonlinear Analysis Method，简称FNA方法）对结构进行动力分析。FNA方法应用特点在于分析中只考虑连接单元的非线性行为，而结构仍处于弹性工作状态。
3.2 直接积分法
直接积分法是将振动平衡方程式中的时域分割成许多间隔，每个时间间隔都非常小以保证计算精度。针对每个时间间隔点计算位移、速度及加速度等，利用已经求得的第n步的分析结果作为已知条件，通过一定的计算方法或假定求得未知的、第n+1步的分析结果，逐步求得结构在地震作用下的响应结果。实现方法包括隐式方法和显式方法。显式算法之所以为显式，是基于用第n步时刻的动力平衡方程来计算第n步时刻的节点加速度、然后用中心差分法计算第n+1/2步时刻的节点速度及第n+1步时刻的节点位移、单元应变及单元内力结果。隐式算法之所以是隐式，是基于用n+1步时刻的动力平衡方程来计算第n+1步时刻的节点加速度、速度与位移，及单元应变及内力结果。
通过隐式方法求解时，在每个时间增量步长内需要迭代求解耦联的方程组，计算成本较高，增加的计算量至少与自由度数的平方成正比。在采用显式方式进行方程求解时，计算在单元层次进行，无需组装整体刚度矩阵，更无需对刚度矩阵求逆，只需对通常可简化为对角阵的质量矩阵求逆，计算过程中直接求解解耦的方程组，不需要进行平衡迭代，故一般不存在收敛性问题，每个计算步的计算速度较快，但是需要非常小的时间步长，通常要比隐式小几个数量级，计算量至少与自由度数成正比[9]。随着分析模型中单元与节点数量的增加，显式方法的优点越加突出。
3.3 结构阻尼
阻尼作为反映结构振动过程中能量耗散的动力特性之一，不同于结构质量和刚度等其他动力特性可直接通过计算确定，在计算中通常需要抽象为数学模型，其常见的建立形式主要有振型阻尼和瑞雷阻尼，瑞雷阻尼由质量阻尼项αM和刚度阻尼项βK线性组成如图5所示。
图5瑞雷阻尼示意
在以PERFORM-3D为代表的隐式算法软件中，应用振型阻尼矩阵或瑞雷阻尼都较为方便。两类阻尼矩阵可分别单独应用，也可结合一起应用。为了节约计算时间，通常用初始弹性刚度矩阵直接形成瑞雷阻尼矩阵或计算结构的初始线弹性自振周期与振型间接形成振型阻尼矩阵，两类阻尼矩阵都不随时间变化，虽然理论上可以采用弹塑性响应过程中更新后的结构弹塑性总体刚度矩阵。将线弹性响应阶段的振型阻尼矩阵用于弹塑性响应阶段，是一种近似方法，因为结构进入弹塑性阶段工作后，自振周期延长，振型形状也出现变化。如果用瑞雷阻尼矩阵，对于刚度阻尼项βK必须加以关注，特别是用纤维模型模拟的混凝土单元的刚度阻尼项，如用纤维模型模拟的钢筋混凝土柱和剪力墙单元等。这类单元的混凝土纤维在初始线弹性响应阶段假设为尚未开裂，开裂后单元刚度显著下降，继续用单元开裂前的刚度矩阵就会过高估计与此类单元相关的阻尼力与能耗。
PERFORM-3D解决此问题的方法是将混凝土纤维单元的刚度阻尼项系数β进行折减[10]。Powell教授在文献[10]中建议在隐式算法软件中实施阻尼矩阵的方法是将振型阻尼与瑞雷阻尼中的刚度阻尼项βK结合一起来应用，以振型阻尼为主为其所涵盖的振型施加所需阻尼，辅之以很低阻尼比的βK阻尼项，来解决振型阻尼矩阵中不涵盖的高振型无阻尼这一问题，为这些高振型施加少量阻尼。
在以ABAQUS与LS-DYNA为代表的显式分析计算中，实施刚度阻尼项βK会大量增加计算成本，不符工程实际的需要。其原因是显式算法是有条件的稳定算法，其稳定积分时间步长由分析模型中的最高振型的频率
与阻尼比
控制，如下式[11]:
（3）
式中各参数含义参见文献[11]。
因为刚度阻尼项的阻尼比与频率成正比，且结构分析模型中最高振型的频率通常比基本振型的频率高几个数量级，引入刚度阻尼项βK后显式算法的稳定时间步长往往会短到计算时间过长、不切实际的程度。如某结构分析模型的最高振型的频率是其基本振型频率的1000倍，引入刚度阻尼项后，基本振型的阻尼比设定为0.01，最高振型的阻尼比为10.0。
稳定积分时间步长是无阻尼情况下的
倍。应用质量阻尼项αM则可避免此问题。在同一结构模型中引入质量阻尼，同样设定基本振型的阻尼比为0.01，因为质量阻尼方法的阻尼比与频率成反比，最高振型的阻尼比是基本振型阻尼比的0.00001。此时稳定积分时间步长是无阻尼情况下的
倍，即基本不变。所以在显式算法中，应用质量阻尼项
比较方便。
但是必须关注的是，由图5可知，由于质量阻尼随着自振频率增大将迅速减小，仅考虑质量阻尼将导致高阶振型的阻尼偏小，过高估计了高阶振型的响应，结果将偏保守。为了克服显式算法这一不足之处，在LS-DYNA中对显式算法软件中的阻尼方法进行了改进，引入了振型阻尼矩阵。其方法是振型阻尼矩阵基于振型阻尼比确定，且在求解第n步时刻的动力平衡方程、计算第n步时刻的节点加速度向量时，第n步时刻的节点速度向量
近似采用前半步的速度向量
代替[12]，将振型阻尼力作为已知外力，施加在结构质点上。因此显式算法仍然成立，且不会改变求解时间步长。
4 分析结果解读
4.1 宏观结果解读
对结构进行动力弹塑性分析后，一般提取以下三类结构的宏观分析结果：1）内力指标；2）位移指标；3）能量指标。
4.1.1内力指标
统计宏观内力指标时，需要提取力的时程曲线，具体应用方式如下：
（1）输出基底总反力时，可以直接提取各支座节点的反力时程，对整体坐标系X，Y方向进行求和，提取总反力时程的最大值作为地震作用下的基底反力值。用PERFORM-3D或LS-DYNA计算时，可用切割截面的方法，在略高于基底标高处定义一个切割截面，切割到所有首层结构构件，软件可自动计算截面所切割到的构件内力在整体坐标系方向的合力时程。
（2）输出楼层剪力时，需提取楼层标高略偏上位置竖向构件投射在整体坐标系X，Y方向的剪力时程并进行求和，取时程最大值作为楼层剪力代表值，竖向构件选取方式见图6。如用PERFORM-3D或LS-DYNA进行分析，可用上述切割截面的方法，计算层间剪力、层间倾覆力矩等的时程。如需要输出楼层剪力差，则应提取上一楼层剪力时程，并与本层剪力时程相减后取最大值，作为楼层剪力差代表值。
图6 竖向构件剖面位置及选取方式
（3）输出框架剪力分担率时，可分别提取各个楼层框架部分剪力时程，并与楼层剪力时程相比，输出得到整个时程内框架剪力分担百分比的变化情况。在有加强层的高层与超高层建筑中，分别提取楼层总剪力、核心筒剪力和框架剪力时程曲线并考察三者的峰值与相位，可清楚地观察到在加强层上、下几层处核心筒与框架承担的剪力急剧变化，甚至出现核心筒与框架剪力时程相位相反，核心筒或框架所分担的剪力大于楼层总剪力的情况。
4.1.2位移指标
统计结构宏观位移指标时，需要提取节点位移的时程曲线。宏观位移指标统计具体应用方式如下：
（1）输出层间位移角时，可以选择结构的3~5个角部竖向构件上下楼层节点在整体坐标系X，Y方向的位移差时程，取最大值作为层间位移并计算层间位移角。图7中阴影部位由结构的外围竖向构件围成。分别按照X，Y方向坐标的最大值和最小值定位代表性竖向构件，一般情况下可以获得3~5个角点。
图7 代表性竖向构件选取方法
（2）输出顶部位移时程时，应扣除基座的位移时程，便于同反应谱分析结果进行对比，可结合弹性位移时程来直观反映结构整体刚度的退化情况。
（3）结构经历地震后，会存在结构损伤，具体表现为发生弹塑性响应的构件存在残余变形。此时结构已经偏离初始结构的几何位置，通过观察结构的残余变形分布，可以初步评估结构的薄弱位置。
4.1.3能量指标
当结构经历地震作用时，地震能量会不断输入到结构体系中，其中一部分能量以弹性应变能和动能储存，另一部分则被结构阻尼和非弹性变形耗散。
在任意时刻t，系统的总输入能与其他能量之相平衡，即：
（4）
式中：
为结构总输入能；
为结构动能；
为结构阻尼耗能；
为结构的弹性变形能；
为非弹性滞回耗能。
通过提取各类型能量曲线，可以观察在时域范围内结构的能量响应，评估结构耗能能力强弱，必要时也可以按构件类型输出耗能曲线，如分析连梁在整个结构系统中耗能权重。
4.2 结构构件分析结果解读
结构构件的分析结果可以帮助工程师对结构构件的整体抗震性能有一个初步的评估，结合微观分析结果，可以进一步的判断结构的性能表现是否满足预期要求。分析结果主要由以下内容组成：
（1）各类响应分布图，如变形响应、内力响应和损伤分布等，在时程终止或者某一时刻均可输出。应注意的是，只有塑性变形才能输出累积值，例如混凝土损伤分布图，塑性转角分布图等。
（2）状态变量的时程曲线，例如墙肢的混凝土材料应力时程曲线。
（3）不同层次的滞回曲线，例如屈曲约束支撑的轴力-轴向变形滞回曲线。
4.3 基于ABAQUS软件的结果解读
在抗规附录M第M.1节中，将构件的抗震性能要求分为1~4类，并给出了对每一类性能要求的承载力参考指标示例和层间位移参考指标示例。同时对结构竖向构件的内力和层间位移的计算与验算方法进行了相关规定。
在《高层建筑混凝土结构技术规程》（JGJ 3—2010）[13]（简称高规）中，将结构抗震性能目标分为A~D四个等级，结构抗震性能分为1～5五个水准，对应的构件损坏程度分为“无损坏、轻微损坏、轻度损坏、中度损坏、比较严重损坏”五个级别。同时也对结构构件内力的计算与验算进行了相关规定。采用ABAQUS进行动力弹塑性分析，可以提取构件的内力如钢筋混凝土剪力墙肢、梁与柱的剪力值并参考抗规或高规相关规定进行验算。但是在抗规和高规并未对构件的塑性变形指标进行明确定量规定。此时可以参考美国国家指导性规范标准ASCE 41-13[14]中的相关规定。
以剪力墙构件为例，在ASCE 41-13第10.7节中对构件的塑性转角指标进行了定量规定，见表5。
对表5中不同的塑性转角指标IO、LS、CP的应用，如结合高规中结构抗震性能第5级水准相关规定，将结构底层剪力墙墙肢归类为关键构件，将“中度损伤”设定为LS状态；连梁归类为耗能构件，将“比较严重损坏”设定为CP状态。在表5中，塑性转角值a，b及残余强度比的定义见图8。其中A为原点，B对应构件截面屈服状态，C对应构件截面达到极限强度状态，D为构件发生强度损失后初始状态，E对应构件极限变形状态。
图8混凝土构件广义力-变形关系
基于图8所示的广义力-变形关系曲线定义，以弯曲破坏控制的剪力墙构件屈服弯矩对应的屈服转角值
可以采用公式（5）计算：
（5）
式中：
屈服弯矩，可以参考《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）[15]计算；
为混凝土弹性模量；
为截面惯性矩；
为预定的塑性铰长度，一般为截面高度的0.5倍。
由于ABAQUS软件并不能直接给出剪力墙构件的塑性转角值，一般可以采用输出监测构件的总转角值扣除屈服转角得到塑性转角值，并与表5进行对比即可判断剪力墙构件是否符合性能目标要求。以底层剪力墙墙肢构件的总转角为例，其计算方式如图9所示。图中dt与dc分别对应墙肢受拉和受压部分长度，Δt和Δc分别对应墙肢受拉边缘和受压边缘竖向变形。
图9墙肢转角计算示意
5 结论
（1）动力弹塑性分析可在一定程度上仿真结构在地震作用下的反应历程，从设计角度上可理解为一种“数字振动台试验”。与振动台试验类似,可对基于传统方法完成设计的结构进行模拟验证，找出薄弱环节、破坏机制，验证设定的性能目标，以期指导结构设计；其对结构和构件变形的模拟精度远高于内力的模拟，且结构外力与结构变形不再是线性关系，故无法进行设计师所熟悉的工况线性组合，也就无法将结果直接用于结构构件设计。
（2）在实际工程的动力弹塑性分析应用中，有多种商业软件可供选择。这些软件的计算原理及模型假定存在不同，在具体应用时应理解其各自的特点。根据具体工程项目的实际情况和需要选择最为合适的分析软件。
（3）目前常用的恢复力模型有基于构件的模型、基于截面的模型以及基于材料的模型。动力弹塑性数值分析方法包括振型叠加法和直接积分法。振型叠加法通常仅用于弹性时程分析，而动力弹塑性分析属于强非线性分析，除对于部分减、隔震结构可采用基于振型的快速非线性分析方法外，一般采用直接积分法。
（4）动力弹塑性分析结果分为宏观和微观分析结果。宏观分析结果包括内力指标如基底反力、位移指标如层间位移角分布和能量指标如地震输入能；微观分析结果包括各类响应分布图如变形响应、状态变量的时程曲线如墙肢的混凝土材料应力时程曲线以及不同层次的滞回曲线。
（5）动力弹塑性分析是一种典型数值仿真技术的应用，是结构分析技术发展的重要成果，在一定程度上可理解为“数字振动台试验”，是目前实现结构抗震性能化设计的重要手段。并且由于其避免了振动台试验的“缩尺”影响，也是结构性能研究分析及方案优化的有效工具之一。现有的多种软件也为这些研究分析提供了相应的技术支持，也必将随多种技术的发展不断日趋完善。
致谢：本文主要参考由中国建筑工业出版社出版的《动力弹塑性分析在结构设计中的理解与应用》一书，该书是“江苏省生态建筑与复杂结构工程技术研究中心”基于多年工程实践完成的工作总结。在此书完成过程中笔者团队得到了王亚勇教授和段小廿博士的大力支持，在此深表感谢！
更多详情见《建筑结构》杂志2016年第20期（中衡设计集团股份有限公司专刊）文章。
文章题目：动力弹塑性分析方法及其在结构设计中的应用；作者：张谨1,2，段小廿3，杨律磊1,2，龚敏锋1,2，郑志刚1,2；单位：1 中衡设计集团股份有限公司； 2 江苏省生态建筑与复杂结构工程技术研究中心； 3 福斯特及合伙人有限公司。
