老师们热烈讨论的一道题目,题目不难,看似普通,却妙处无穷。现将各位老师提及的方法及自己的思考总结如下,以飨读者。
先用一句话概括此题:此题只应天上有,人间能有几回闻!
试题呈现:
如图,正方形ABCD的边长是6,其中,CE=2,CF⊥BE,求OF的长。
首先此题不难推出:
勾股定理可求BE=2倍根号10
等面积法可求CF=3/5倍根号10
△BFC~△BCE可以得到BF的长度(也可以用设x用勾股定理求;射影定理求;三角函数求)为9/5倍根号10
∠BOC=90°,∠BCO=45°,tan∠CBE=1/3
已知这些结论又该如何求解OF的长。那么现在就让我们从不同视角去寻找解法。
思考视角一:旋转
如图,此图形存在等腰,那我们旋转看一看。
很明显,此图为手拉手模型,
先说怎么作辅助线:
用旋转的眼光去想,但是写时得用推理的语言写:在BF上取一点F’使BF’=CF,
再说怎么求解:
由8字导角可得∠OBF’=OCF,再利用边等即可得图中两个阴影三角形全等,进一步可推△OFF’为等腰直角三角形,剩下的就是求解FF’的长度了。
利用FF’= BF-BF’=BF-CF即可得到答案
最后利用等腰直角三角形三边之比或者设x用勾股定理也可求解OF=
从旋转视角出发,还可以
绕点O逆时针旋转:
解答过程与上相同。
绕点B顺时针旋转:
此题利用一转成双,两对相似三角形可以求得OF
绕点B逆时针旋转
绕点C顺时针旋转
绕点C逆时针旋转:
思考视角二:四点共圆
四边形BOFC存在两个直角,可以想想是否四点共圆。如图,将四个点放到圆内,这样就变成了圆相关问题了,利用圆相关定理就能解决OF的长(记得北京孙老师首先想到此方法)
利用圆周角定理和垂径定理可以知道∠OBF=∠HGF,易知OG=FG=1/2BC,那么在Rt△HGF中,只要知道∠HGF的三角函数值,再列方程即可求解。
求解∠OBF的三角函数值有很多方法:
方法1:利用8字型BOHCF存在相似可以求解
方法2:利用12345模型可以秒出(参见下篇)
四点共圆还可以帮助解决旋转方法里所涉及的导角。
思考视角三:弦图
这是一个正方形,内部的折线还存在直角,那有没有可能考察弦图,可以试着画一画:
可以画出一个完美的弦图,为了更直观研究这个图形,我们给添上颜色:
从图中易证周围是4个全等的直角三角形。利用A字相似即可求解里面小正方形的边长,然后再求小正方形对角线即可得到答案。
当然此题也可用简化的弦图求解,也就是十字架模型,如图:
从这里由△BCE全等于△CGD得到CG的长,然后导多次相似,最后得到△HOF∽△HCB,进而就可以求解OF。
此方法过程比较繁琐,不过如果知道123模型,此题也可快速出答案。(123模型参见下篇)
思考视角四:相似或三角比
此题里面有很多相等的角,可不可以从相似的角度去思考呢?
如图
图中其实存在天然的相似,△BOF∽△BED,这个相似不容易看出来,它是一个反A字相似,(看反A和母子型,需要用旋转加位似的眼光来看)
只需要证明∠BFO=∠BDC=45°,证明方法:
由四点共圆可知;或者由两次8字导角可知;按照旋转的方法也可知道
除了这样,题中其实还存在天然的相似:
从图中容易得到△BOG∽△CFG, △BGC∽△OGF, 其中CF和OB的长度都是容易得到的,也就是相似比容易得到,这样OF的长度就可轻松求解。
此题用相似来解,关键就是导角导边,既然导角导边,那可不可以用强大的导角导边工具-三角函数来解决呢?如图作辅助线,
利用等腰直角三角形DIE,直角三角形BIE,直角三角形BHO,直角三角形OHG多次导角导比,即可求解。
在这里,段广猛老师提到要有一种大平面观的意识:整个平面内,只要角等就可以比等,比确定后,只要确定一边,就可确定另一边,这样不仅边与边紧密相关,而且边与角也紧密相关,从而整个平面就融为一体。
思考视角五:构直角三角形
这题可以构造直角三角形,利用勾股定理来解吗?
如图:
通过导角导边可知△OGF为等腰直角三角形,后面OF就好求了。
如图作GF⊥OC也是可以利用勾股定理求解。
郑州于老师提出如图作辅助线方法,方法是一边一角一垂线,灵感来源是佛经里说的一花一叶一菩提,其中利用∠CFO=135°,然后设X求解。此法令人印象深刻。
更令人惊奇的是,于老师还提到此题可用高中学习的余弦定理。详细参见下篇。
我们想了各种作辅助线的方法,其实能不能用最原始的方法呢?这里要求的OF是一条倾斜的线,那我把它放到一个横平竖直的直角三角形里是不是可求,也就是我作一些横平竖直的辅助线,如图:
利用直角三角形FLC可求FL和LC,然后再利用矩形FLKJ可知JK,最后利用直角三角形OJF可求OF
突然有一点大工不巧的感觉,前面想了这么多神奇的辅助线,其实用最简单的辅助线也可以解决。
思考视角六:面积视角
如下图,可以取BC中点G,然后得到斜边中线,接着求证DF=OD,OG=FG
得到DG为中垂线,然后利用△OGC的面积等于△OGD的面积(等积转换),而△OGD的面积可以用OJ*GD除以2表示(等面积法)即可算出OJ
进而OF即可求。
这里的解法涉及到了面积,其实除了这样还有一种鬼斧神工的面积法,
王老师说一眼看出OG=CF,为什么呢?
因为△BEC面积=△ODE面积=△BOE面积,这是由等高等底定理得到。
这样推出OG=CF,后面利用导角即可求解。
不得不说,有人就是有火眼金睛,天生直觉能力强。
思考视角七:造K字
作为改斜归正思想中的一种威力无穷的方法,这题可以用K字解决吗?
见直角可造K字,如上图两个绿色三角形为K字全等,这里不仅有一个K字全等,还有一对K字相似,如下图:
利用这两个K字,列方程即可求解。
点评:此法比较难以想到,不过计算量并不大,设x列方程会是一个一元一次方程。此法的使用说明的不是此法厉害,而是此题厉害,一道简单的题目既然包括如此多的方法,可谓包罗万象,气象万千。
思考视角八:坐标法
此类题目,当然可以采取简单直接的坐标方法解决
如图,利用垂直直线的比例系数互为负倒数的关系,可以求出CF解析式,然后联立CF和BE解析式可以求出点F坐标,最后利用两点距离公式可以求解出OF长度。
当然其实在算CF解析式也可以避免使用比例系数互为负倒数关系,如图:
利用十字架模型,可以比较快速地得到CF解析式。
这种建系法在解决中考几何填空题往往能起到绝境逢生的作用,不需要太多的几何构造思维,不过解决的题型比较有限,另外部分知识可能已经超纲,而且大量计算也是此法的一个弱点。
至此,此题解法对于一般初中生可以接受的思路方法就结束了。但是解题还没有结束,如果我们站在更高角度,能不能总结出此题所涉及的更高阶的通性通法?
联系客服