(小石头尝试着来回答这个问题)
用生活中通俗易懂的语言描述微积分为:
微分:圆角的桌角的局部放大后近似于平直的,于是膝盖撞上去不会很痛;
积分:土豆的体积近似等于其切出来的土豆条按照长方体计算的体积之和,土豆条切的越细,越准确。
更具体的描述如下:
微积分分为微分和积分两部分,首先,我们来讨论什么是微分?
考虑下面的两个曲线,
某些生活经验(比如:膝盖不小心撞上去的感觉)告诉我们,两个曲线在A点处的特性不同:
蓝色曲线A点处是圆润的;
绿色曲线A点处是棱角的;
进一步,我们在两个曲线A点处用直尺画一条直线,然后放大A点附近的局部:
观察发现,随着局部的不断放大,两种特性的差异表现明显,在A点处圆润的 蓝色曲线 和 直线越来越 贴近,而A点处棱角的 绿色曲线 则和 直线 毫不相干。
蓝色曲线在A点处的表现,就是微分,具体的数学描述如下:
设 蓝色曲线的对应的函数是 f(x),A 点的 坐标是 (x, f(x)),则可以再 A 处做一个局部坐标 X'AY':
局部坐标 X'AY' 下,蓝色曲线的函数为:
Δf(Δx) = f(x + Δx) - f(x) ①
称其为 函数 f(x) 在 A 点处的变化率,而 直线的函数为:
l(Δx) = kΔx ②
其中 k 为常数,表示直线的斜率。
根据,上面的分析,我们知道 随着 Δx 的减小,Δf(Δx) 和 l(Δx) 越来越 贴近,也就是说,它们的差 Δf(Δx) - l(Δx) 也会越来越小。那么具体,如果描述 这种 贴近呢?
很自然我们会想到:
当 Δx 趋近于 0 时, Δf(Δx) - l(Δx) 也趋近于 0。③
但是,这用来描述贴近,显然不够,因为考虑绿色曲线(上半段),
发现 Δf(Δx) - l(Δx) = (k'-k) Δx, 也满足 当 Δx 趋近于 0 时, Δf(Δx) - l(Δx) 也趋近于 0,但显然 它们不 贴近。于是我们对上面的描述,进行调整:
当 Δx 趋近于 0 时, (Δf(Δx) - l(Δx)) / Δx 也趋近于 0(即,Δf(Δx) - l(Δx) 比 Δx 更快的趋近于 0) ③‘
这样,对于绿色曲线 (Δf(Δx) - l(Δx)) / Δx = (k'-k) 显然是非零常数,就被排除了。
令 o(Δx) = Δf(Δx) - l(Δx) 称 为 Δx 的高阶无穷小量,并将,③‘ 写成极限形式为:
于是最终得到:
这个公式就是 函数 f(x) 在 A 点处的微分。
由 ④, ① 和 ② 有:
等式两边取极限,再 根据 ③' 得到:
令,
称f'(x) 为 f(x) 在 A 处的导数,当 A 点取满 f(x) 的整个定义域时,称 f'(x) 为 f(x) 的导函数,f(x) 为 f'(x) 的原函数。
至此,微分就讨论完毕,接着,我们讨论什么是积分?
积分又分为:不定积分 和 定积分,先说 不定积分。
设 f(x) 是 函数 F(x) 的导函数,即,f(x) = F'(x),现在已知 f(x) 求原函数 F(x),令,
称为不定积分。
也就是说,不定积分,就是求导的 逆运算。
然后是,定积分 也称为 黎曼积分,我们看一则故事(本故事纯属虚构):
自从阿基米德发明排水法后,测量不规则物体的体积已经不是问题。有一天,阿基米德去餐馆吃午餐结果忘了带钱,刚好老板也是一个数学爱好者,于是老板对阿基米德说:“如果 阿基米德先生 可以 只用 带刻度的直尺 测量出土豆的体积,这一顿就免费”。阿基米德最近正在用割圆法计算圆周率,于是很快找到了解决问题的方法:
只见他,迅速用直尺的将土豆切成土豆条,然后将每个土豆条近似当做 长方体,用 直尺量出其长宽高,进而计算出 每个土豆条的近似体积,最后将 所有 土豆条 的体积加起来就是整个 土豆的体积。
餐馆老板,提出质疑,认为 将 土豆条 近似的 当做 长方体,不准确。阿基米德,反问到:
如果,我将每个土豆条在改刀成 更细的 土豆条,是不是就更精确了?
餐馆老板,想了一想,土豆条不准确,就是因为两端是土豆的不规则表面,如果 土豆条根细,那么 规则表面的面积就会更小,误差就会更新。于是回答:是
阿基米德,接着解释:既然,将 土豆条 继续细分,就会得到更高的 精度,那么无限细分下去,总可以得到 准确的 值。
餐馆老板虽然不得不承认这个结果,仍然不满意,他认为:这样无限细分下去,无法结束,因此最终还是得不到这个 准确的 值。
阿基米德,接着说:在现实中,当然不能,但是在数学中就可以了。
可是餐馆老板,依旧不买账,正当两人争执的不可开交时,旁边桌子上,一个年轻人站了起来,说:二位不要争论了,我愿意为这位 阿基米德 先生 付钱。
于是,阿基米德吃完免费的吃午,回去继续计算他的圆周率去了。
而这个年轻人,也马上也返回了自己的住所,并按照 阿基米德 想法,用数学的方法对切土豆进行了 描述,这就是:黎曼积分。这个年轻人就是 黎曼。
最简单的黎曼积分可以用于计算 函数 f(x) 和 X 轴 在 区间 [a, b] 之间 围成的 曲边梯形 面积,
我们在 a 和 b 之间插入一系列点:
a = x₀ < x₁ < ... x_{n-1} < b = x_n
这样将 一个大的 曲边梯形 Λ = ay₀y_nb 分割为 一系列小的 曲边梯形:
δ₁, ... δ_n
其中, 任意 小曲边梯形 δᵢ = xᵢ₋₁yᵢ₋₁yᵢxᵢ 的面积近似于 小矩形 σᵢ = xᵢ₋₁y’ᵢ₋₁y‘ᵢxᵢ 的面积:
Sᵢ = f(ξᵢ) Δxᵢ
这里, ξᵢ 是 xᵢ₋₁ 和 xᵢ 之间任意一点,Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁。
于是 Λ 的 面积 S 就近似为,这些 小矩形 的 面积之和:
让,λ = max{Δx₁, ..., Δx_n} , 则 当 λ → 0 时,S' → S,记为:
这就 黎曼积分。
注意: 黎曼积分 还可以 扩展为 勒贝格积分,但是 这 牵扯测度论,比较复杂,不适合这里讨论。
最后,是著名的 牛顿-莱布尼兹公式:
它将 不定积分 和 定积分 关联在一起。
诚如故事所述的那样,黎曼积分不仅可以用于计算曲边梯形面积,还可以计算三维物体的体积,当然还可以 计算,更高维度物体的体积,曲线的质量,物体沿曲线做的功,另外,微分也还可以扩展到 多维 函数 和 向量函数的情况,这些内容属于《多元微积分》其基本原理 和 上面 所述的《一元微积分》类似,这里就不展开讨论了。
(由于小石头数学水平有限,出错在所难免,欢迎各位老师和同学批评指正!)
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