上过大学的人都学过微积分。微积分的出现具有划时代意义，它从诞生起解决了大量的数学问题、物理问题、天文问题，大大推进了生产力的发展。微积分出现之后，欧洲人花了一个半世纪才真正消化微积分的成果，这一过程也使得欧洲文明脱胎换骨，在十八世纪引爆了工业革命，成为全球霸主。微积分的发展史也印证了近代几百年来颠扑不破的一个规律：
只有能够引领数学发展的前沿的国家，才有资格成为当时的霸主！
时至今日，微积分不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具。
微积分的故事关系到数学发展史上的第二次危机。这次危机实际上是前文讲到的第一次数学危机的延续，仍然是关于“0”与无限的问题。要说清楚这件事的来龙去脉，还要追溯到两千年前的古希腊。
受毕达哥拉斯学派影响很深的巴门尼德（约公元前515年～前5世纪中叶），对“万物皆数”的思想进一步延伸。
他认为整个宇宙不仅是封闭的、有限的、静止的，甚至只有一个东西，它从不变化，没有任何部分，永远不可毁灭，他把这个单一的东西称作“一”。
在巴门尼德看来，世界上的事物看似多种多样，变动不定，所有这些变化和多样性都只是一种错觉。无论表象如何，存在的只能是一个单一的、不变的、永恒的东西。“一”必定是一个完满的球体，如果它在任何一个方向是不规则的，就会在相应的位置产生一个不存在的区域，这也会错误地断言某物不存在。
巴门尼德的宇宙观和老子在《道德经》表述的宇宙观正好相反。
后者的宇宙是开放的，变化的，无限的，万物同源又相互联系，甚至可以认为是现代物理学对宇宙的认知的朴素表达。“道”生成了万物，又内涵于万物之中，“道”在物中，物在“道”中，万事万物殊途而同归，都通向了“道”。“道”不只是有形的“物质”、思虑的“精神”、理性的“规律”，而是造成这一切的无形无象、至虚至灵的宇宙根本。 “道”是先天一炁，混元无极，“道”是其大无外、其小无内、至简至易、至精至微、至玄至妙的自然之始祖、万殊之大宗，是造成宇宙万物的源头根本。
巴门尼德的观点与人的直观感知相悖，在当时也是惊世骇俗，引发了大量的反对与批评。为了维护老师的观点，巴门尼德的学生，埃利亚的芝诺（约前490-前425）从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。巴门尼德的论断听上去非常武断，但是他的学生芝诺的辩论之辞则蕴含着深刻的智慧。他的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论最为著名。
芝诺非常擅长编段子，其中“芝诺的乌龟”讲的是阿喀琉斯永远追赶不上一只乌龟的故事。这个故事的灵感很有可能来自公元前六世纪《伊索寓言》的龟兔赛跑的寓言。在那则寓言中，兔子由于贪睡输给了坚持不懈的乌龟。而在芝诺的故事里，兔子被替换为更加善跑的半神阿喀琉斯，阿喀琉斯以速度快而闻名，全身刀枪不入，只有脚后跟是他的罩门，后来也因此而死，留下来著名的西谚“阿喀琉斯之踵”。在芝诺看来，无论阿喀琉斯怎么努力，他也跑不过那只乌龟！
有一次，阿喀琉斯遇到了一只乌龟。乌龟对阿喀琉斯说：“虽然你跑得快，但是你永远无法追上我。”阿喀琉斯就奇怪了，问乌龟：“为啥呀？”乌龟说：“因为我在你前面，假如我们的距离是1000米，你的速度是10米/秒，我的速度是1米/秒。你想要追上我，就有这么几个阶段。”
1、你跑完1000米，花100秒，在这个时间段内，我向前走了100米，我还在你前面。
2、你跑完剩下的100米，又花了10秒，在这个时间段内，我又跑了10米。
3、你继续追赶10米，花了1秒，我则又跑了1米。
乌龟说：按照这个过程追赶下来，我一直在你前面。虽然我们之间的距离虽然越来越近，但是始终存在一个微小的距离，因此，你永远也追不上我。
按照乌龟的说法，他们二者之间的距离只会不停地变小，但是永远不会变成0，因此阿喀琉斯永远也追不上乌龟。但是我们知道，事实不是这样的，阿喀琉斯是能追上乌龟的，但是乌龟的逻辑貌似也是严密的，那问题到底出在哪里呢？
接受过我国义务教育的人会觉得这个问题很简单，老师告诉我们这是一个等比数列求和的问题。n项比值为q的等比数列，求和公式为：
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)。
带入这个问题，阿喀琉斯追上乌龟所需的时间为：
T=100 10 1 0.1 ···10^（3-n）=[10^3-10^（3-n）]/9。
当n趋近于无穷大的时候，10^（3-n）趋向于无穷小，因此可以直接用0代替，得出答案为1000/9秒，即111.1111……秒。
芝诺的著作早已失传，亚里士多德的《物理学》引用了一些芝诺悖论作为反面教材加以批驳。直到19 世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。
英国数学家罗素（后面还会出场，他是第三次数学危机的当事人）感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名。”
无穷小量无限接近于0，但是它到底是不是0呢？
这个问题比得出上面那个具体答案要重要得多。但我国的数学教育热衷于教授解题方法（“术”），但是对背后蕴藏的数学思想（“法”和“道”）视而不见。对无穷小量背后的“法”与“道”的探求，这就是曾经引发无数数学家殚精竭虑的第二次数学危机。
上述问题蕴含着一个非常重要的数学概念：无穷小量。这个概念是连接“有限”与“无限”，“无限”与“0”之间最关键的概念，也是人类从初等数学迈入高等数学的一个分水岭。
如果说初等数学还是在现象层打转，那么高等数学就开始初窥宇宙的结构，因此这一步跨越非常关键。在历史上，唯有欧洲文明实现了这一步关键跨越，从而实现了数学规律层面的降维打击，使其在近代与世界其他地区迅速拉开了差距。而这一步跨越也确实相当艰难，从芝诺最早提出命题到初步找到解题思路，人类花了整整两千年。
虽然早在芝诺时代就埋下了危机的种子，第二次数学危机的真正爆发是在十七世纪，伴随着当时最重要的数学进展——微积分而产生的。微积分学是微分学和积分学的统称，它是研究函数的导数、积分的性质和应用的一门数学分支学科。
在十七世纪探索微积分的至少有十几位大数学家和几十位小数学家。牛顿和莱布尼茨分别进行了创造性的工作，各自独立地跑完了“微积分这场接力赛的最后一棒”。
在微积分历史中，最初的问题是涉及计算不规则形状的面积、体积和弧长的。阿基米得(公元前3世纪)的方法最接近于现行的积分法。
1609年，开普勒为了计算行星运动第二定律中包含的面积，和在他的论文中讨论的酒桶的体积，而借助了某种积分方法。1635年，卡瓦列利发表了一篇阐述不可分元法的论文，提出卡瓦列利原理，它是计算面积和体积的有价值的工具。1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法系统化，并作了推广。
微分起源于作曲线的切线和求函数的极大值或极小值问题。虽然可以追溯到古希腊，但是第一个真正值得注意的先驱工作，是费尔马1629年陈述的概念。1669年，牛顿的老师巴罗对微分理论作出了重要的贡献，他用了微分三角形，很接近现代微分法。一般认为，他是充分地认识到微分法为积分法的逆运算的第一个人。
接下来则是牛顿和莱布尼兹分别独立地创造一般的符号和一整套形式的解析规则，形成可以应用的微积分学。
牛顿与莱布尼茨的创造性工作有很大的不同。主要差别是牛顿研究物体在连续时空中的运动，因此空间与时间的比率即速度，是他研究的核心概念，牛顿带有典型的物理学家的思维方式，自由地用级数表示函数，采用经验的、具体和谨慎的工作方式，认为用什么记号无关紧要，牛顿把x和y的无穷小增量作为求导数的手段，当增量越来越小的时候，导数实际上就是增量比的极限。
莱布尼兹主要研究几何学，着眼于面积和体积的计算，直接用dy/dx(就是微分)求出它们之间的关系。莱布尼兹带有典型的数学家作风，宁愿用有限的形式来表示函数，采用富于想象的、喜欢推广的、大胆的工作方式，花费很多时间来选择富有提示性的符号。
自从柏拉图把世界分成现实世界和理念世界，两千年后，研究现实世界的物理学和研究理念世界的数学终于再次汇聚，结出了微积分这颗硕果。
诞生之初，微积分是为了解决现实问题而诞生，并不是通过完备的逻辑推理而得到的。随着时间的推移，“微积分”基础中的逻辑问题渐渐地显露了出来，其中最为关键问题就是“无穷小量”究竟是不是“0”？无论答案为肯定还是否定，都将导致矛盾。
牛顿去世七年之后的1734年，爱尔兰大主教乔治·贝克莱(George Berkeley)以 “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》，正式点燃了第二次数学危机的导火索。
贝克莱谦称为“渺小的哲学家”，但实际上他也是西方学术发展史上的一个重要人物，他的名字实际应当翻译为“伯克利”，加州大学创始校区被称为“伯克利分校”，就是为了纪念他而命名。
贝克莱名声大噪，是他在1710年出版的《人类知识原理》，从名字上就可以看出，牛顿的《自然哲学的数学原理》是要用数学来解释自然哲学，归根结底这还属于人类的智慧成果。贝克莱这本书则是要把人类智慧的底层规律加以阐述，其学术野心更胜于牛顿。
这本书系统地提出了被称为“主观唯心主义”的哲学思想，相对于柏拉图的“客观唯心主义”进一步强化了理念世界的作用。
与巴门尼德完全否定感官经验不同，贝克莱继承了弗朗西斯·培根开创的经验主义思想，承认认识来源于经验，但他把感觉经验看作唯一的存在，否认物质世界是感觉经验的客观来源。贝克莱是一个绝对的经验主义者，而且极力做到“知行合一”。他不管什么事他都想试一试，也不管什么后果。一回，贝克莱突发奇想，想知道上吊是什么感觉，然后他就上吊了，幸好有朋友及时赶到，救了他一命。
从毕达哥拉斯时代起，数学就与哲学和神学纠缠在一起，物理学又被称为自然哲学，和哲学出于同源。以上这些学科直到十九世纪才逐渐分家。因此这不是很多科学史作者误认为的神学家对数学的指手画脚，而是院士级大佬互掐的一场神仙打架。开启战端之后，又是若干院士级大佬前赴后继加入战团，前后打了一百五十年的“学术百年战争”，推动了数学和科学的极大发展。
贝克莱相当于“英国的王阳明”，坚持的是一条从主观到客观，从观念到物的主观主义路线。他将理念置于世界的核心地位，对物质世界的客观存在根本否定，指出一切外部世界的事物都是感觉或感觉的复合，观念的集合等等。感觉、自我意识是真实存在的，是世界的本原。
既然事物是观念的集合，那么如何解决事物客观存在的这一事实呢？贝克莱认为，事物在不被我的心灵所感知时仍然存在，是因为它被别的心灵所感知。在没有被别的心灵所感知时或在别的心灵产生之前，它是被无限的精神实体——上帝所感知。这样他解决了事物存在的连续性问题，同时又论证了上帝的存在。贝克莱的思想虽然被打上“唯心主义”的标签，但是这种哲学观点与20世纪波尔等人建立的“量子力学”有许多相通之处。
贝克莱作为牛顿的反对者出现在物理学史中，却是最早认识到空间、时间和运动不是绝对的物理量而是事件间关系的人，这一哲学观念在20世纪被爱因斯坦的“相对论”重新确立。
在那本标题很长的书中，贝克莱对牛顿的微积分理论进行了攻击。比如说计算函数f（x）=x²的导数，先取一个不为0的增量Δx，由(x Δx)² − x²，得到2xΔx (Δx)² ，后再被Δx除，得到2x Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。因为无穷小量一会儿说是0，一会儿又说不是0。
贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”，并宣称：“能消化得了二阶、三阶流数（牛顿对导数的称呼——北山浮生注）的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”“用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果。”
贝克莱的攻击真正抓住了微积分理论中的缺陷。牛顿实际上对缺陷的存在心知肚明，曾使用了“最初比与最终比”来解释这个悖论，力图避开实无限小量，相当于求函数自变量和因变量变化之比的极限，为后来的极限理念奠定了基础，但并没有真正解决问题；莱布尼兹也没好多少，他曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。而他的追随者使用“无穷小的非0量”以求过关，但追究起来，也无非是“文字花招”。
第二次数学危机的爆发，根本原因在于，数学分析的严密性问题一直没有得到解决。欧几里得之后的西方数学延续了“重形轻数”的倾向，当时无论数学分析还是代数都笼罩于欧氏几何的阴霾中，缺乏完备的实数理论。
由于欧氏几何的束缚，在数学家这个群体之中，就有许多人对微积分充满质疑。比如和牛顿同时代的法国数学家罗尔就说：“微积分是巧妙的谬论的汇集”。甚至有数学家讽刺：“如果牛顿知道连续函数并不都是可导的，那么微积分就不会诞生了”。
与牛顿同时期的瑞士数学家雅各布·伯努利曾说过：“只有数学能够探讨'无穷’，而'无穷’正是上帝的属性之一”。“无穷”才能代表永远测不透的极限。“无穷”的观念令哲学家疯狂、让神学家叹息，使许多人深感惧怕。
“无穷”与西方自古以来的哲学观、神学观、宇宙观相悖，是来自另一个世界的东西。
信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯所建立的的宇宙观是有限的、封闭的、静止的，这因为初等数学的思维方式就是有限、封闭、静止的。这就导致数学发展上的两难困境：没有足够的初等数学基础，就没有办法发展高等数学；但是对初等数学掌握得越多，形成的思维方式与高等数学就会差距越大，这中间需要经历一个破而后立的过程。
与西方哲学不同，东方哲学从源头上就对“0”和“无穷”充满了深刻思辨。而在微积分创立到完善的十七十八世纪，恰好是传教士将东方各种著作翻译传播到西方的时代。从微积分的创始人莱布尼兹开始，西方数学家不同程度地阅读到了来自东方的著作，在其中蕴含的哲学思想启发下，完成了这惊险一跃，跨越到高等数学的殿堂。物理学也是极为相似，从牛顿力学到量子力学，波尔等人也是借助易经中蕴含的哲学思想完成了惊险一跃。
一些西方伪史论的观点认为，西方近代的数学与科学成果，都是源自于东方，都是剽窃抄袭的结果。这种观点太过于简单，也很容易被反对者所攻击：既然西方都是向东方学习的，那为什么东方反而不行了？
从前文的论述则可以得出如下观点：西方哲学观从一开始就带有内在缺陷，“祸兮福所伏”，“反者道之动，弱者道之用”，这些缺陷成为驱动西方数学（以及科学）发展的动力，但是同时也造成了其发展过程中存在关键鸿沟，极难以自身的力量跨越。在其发展的关键时刻，东方哲学成为其跨越鸿沟的助推器，但是这不能简单理解为剽窃抄袭，而是充分说明了异质文明之间相互交流的重要性。
东方哲学从一开始就站在了极高的高度，也是“福兮祸所依”，理论从一开始就实现了自洽，缺乏发展的内在动力。中国的古代数学从春秋到魏晋，曾经发展到相当的高度，但是唐宋之后就乏善可陈，并没有能够延续发展下来。
近代之后中国人一方面全面向西方学习，另一方面又割裂了自身的哲学传统，出于实用主义的角度只是学习了数学的“术”，极少研习并深入思考数学背后的哲学思想，缺乏西方人那种研究数学是为了探索宇宙终极规律的宗教式虔诚，更对于西方数学发展过程中对东方哲学的吸收过程缺乏了解，造成了中国当代学生的数学成绩很好，但是却严重缺乏顶级数学家。
其中一个典型案例就是微积分的大学教程，通常的讲授次序是先极限、再微分、后积分，这与历史顺序正好相反。
人总是从自己熟悉的领域中发现问题和矛盾，为了解决矛盾，不得不开辟不熟悉的全新领域来加以解决。从解决实际问题出发，积分和微分其实并不难，真正难以理解的是极限中蕴含的“无穷”的问题。这是历史上延续了两千年，让牛顿秃头、莱布尼兹失眠、泰勒早逝、拉格朗日郁闷、欧拉伤神的超级难题，因为其中涉及到思维方式从有限到无限，从静态到动态的的巨大跃迁。
我国中学阶段对初等数学过多训练，到了大学又从极限开始讲授高等数学的教学方式，则又人为加大了思维鸿沟的宽度。让大一新生刚进入大学，在经历学习环境、学习方式巨大变化的同时，遭遇到极为陡峭的学习曲线，跨越如此巨大的思维鸿沟，这也是微积分让人感到难以理解，进而成为无数人大学时代的梦魇的重要原因。
如果能调整微积分的教授方式，按照历史发展从积分、微分再到极限的顺序学习，并在中小学阶段加强传统文化教育，接触到《易经》《道德经》等著作，并了解其中蕴含的深刻哲学思想，完成这一步思想跃迁就会变得自然许多。同理，物理学中的牛顿力学与量子力学也存在相似的问题。如此一来，可能高中阶段中学生就可以熟练掌握微积分，并学习量子力学，而不要在初等数学和牛顿力学耗费太多的精力。
历史上第二次数学危机到底是怎么解决的呢？
高等数学课本中一系列如雷贯耳的名字将悉数登场，泰勒、麦克劳林、欧拉、拉格朗日、柯西、魏尔斯特拉斯……这一历程恰好和近代英国、法国、德国崛起的顺序正相关，这印证了近代几百年来颠扑不破的一个规律：
只有能够引领数学发展的前沿的国家，才有资格成为当时的霸主！
（未完待续）
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