数学：从现实世界到抽象世界

黄森 编译

为什么数学如此的深奥难懂？许多学生在解决特别复杂的微积分问题时都会提出疑问。

其实数学并非生来如此。在确定基本规则和概念之前，数学的许多领域都是从现实世界问题的研究中发展而来。这些规则和概念被定义为抽象结构。例如，代数是数学的一个分支，使用字母和其它通用符号表示公式和方程中的数和量部分，是为解决算数问题而诞生的。当人们试图解决现实世界中的距离和面积问题时，几何便应运而生。

从具体事物到抽象场景转移的过程，足以被理解为抽象。通过抽象，抽取出数学的本质属性，人们不再需要依靠现实世界中的物体来解决数学难题。这种演变对数学的发展是必要的，对其它科学学科也非常重要。

为什么说这种演变非常重要呢？因为抽象在数学中的发展，赋予了化学、物理学、天文学、地质学、气象学等学科解释自然界中发生的各种复杂的物理现象的能力。如果你掌握了数学抽象的过程，你便能更好的解释譬如物理学、化学等科学学科中发生的抽象问题。

从现实世界到抽象世界

最早有关抽象的例子是人们在符号存在之前的计数方式。例如，在没有类似于数字的符号系统时，一个牧民要跟踪他的羊群数量，应该通过什么方式来保证自己的绵羊没有走失或被偷走？

办法是找到一大堆石头。然后他把羊一只只的赶到羊圈里,每进去一只羊，他便将一个石头堆放在一边。当所有的羊都进入羊圈后，他扔掉剩余的所有石头，并留下那堆能够代表羊群绵羊数量的石头。每当他需要清点绵羊数量时，他便拿出石头和每只羊进行核对。如果石头有剩余，这意味着一些羊可能丢失或者被人偷走。这种一一对应的方式能够帮助牧羊人追踪他的羊群。而现在，人们可以使用阿拉伯数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9来表示任何数。

这是一个关于抽象的强大案例。我们已经从真实世界的物体石头和绵羊转移到了抽象世界。抽象揭示了数学的不同领域更深层次的联系。一个领域的结果可以作为概念和想法在相关领域进行探索。偶尔一个领域开发的方法和技术可以直接应用到另一个领域来创建相似的结果。

强化抽象，重在教学

当然，抽象也存在许多缺点。许多大学级别的数学科目，如微积分、实分析、线性代数、拓扑学、范畴论、泛函分析、集合论等都是非常先进的抽象例子。这些概念可能非常晦涩难懂，往往很难形象化，规则极不直观，很难操纵或推理。这意味着学生需要一定程度的数学功底来消化从具体到抽象的转变。

许多高中学生，特别是来自发展中国家的高中生，在智力成熟度不高的情况下进入大学，接触抽象世界。因为高中时代的数学教学方法，许多学生在苦苦挣扎，甚至萌生了放弃学习数学的想法。其实仅仅是因为在高中没有正确的学习方法，这些学生便认为自己不适合学习数学。

老师和讲师们需要意识到学科中的抽象问题，并通过具体实例来演示抽象概念，从而提高学生的抽象思维。同时，实验也有助于提高和巩固学生的抽象概念。

这种教学原理在很多学校的教学系统中已经得到应用，以帮助儿童提高自身的抽象思维。同样，这种方法也可以用于其它科学。