特约作者：河北 李紫菡
简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐．有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置．为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心．
一、
由球的定义确定球心
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：
1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；
3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
4．正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；
5．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的．
二、
构造长方体或正方体确定球心
1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；
4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．
【小结】 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径．
三、
由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
【小结】 本题是运用公式R2＝r2＋d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们深思．
来源：《金考卷特快专递》第6期《微刊》
联系客服
