［摘要］笔者在“混凝土验收强度和配制强度的确定方法”一文中，以一次计量抽样检验方案确定混凝土验收强度和配制强度和相应的预期强度正态分布，再在预期强度正态分布的基础上，以最小值随子样大小增大而减小的统计规律确定混凝土试件强度最小值的合格界限（即验收强度）。本文采用一次计数抽样检验方案来确定，结果几乎相同，证明两种确定方法都是正确的。 图1 抽检特性曲线（OC 曲线） 图1表明，接收概率L（p）随不合格品率p的增大而降低。其中，P0 为正常产品的不合格率（就是可接受水平AQL），相应的接收概率L（p）＝1－α。按理，正常产品应完全地接收，接收概率为1，现为1－α，是因为正常产品中存在不合格品，抽取的少数子样中的不合格品可能偏多，被错判为不合格。α就是将合格的错判为不合格的概率，即是抽样检验的第Ⅰ类错误，也称生产方损失。P1 为不正常产品的不合格品率（就是可拒收水平RQL），相应的接收概率L（p）＝β。按理，不正常产品的接收概率应为0，现为β，这是因为不正常产品中存在一定数量的合格品，少数子样中的合格品偏多，被错误地漏判为合格。β就是将不合格的漏判为合格的概率，即是抽样检验的第Ⅱ类错误，也称用户风险。所以，在确定抽检方案前，要合理地确定P0 、P1 、α、β。一个好的抽检方案，应有敏锐的辨别能力，且两类错误和抽检数量都要尽可能小。 L（p）＝1－α＝Cn0（p0）0（1－p0）n 则得正常混凝土的不合格品率为： fmin＝fm＋tp0σ （4） 式中fm———预期强度正态分布的平均值，即配制强度。 fmin＝fm－1.94σ。 由参考文献［1］的式（3）得： 表1 按计数抽样方案计算得的fmin和参考文献［1］的fmin 表1对比计算表明，按一次计数抽样检验方案计算得的fmin仅偏小0.01～0.02σ，也随抽取试件组数n的增多而降低（示于图3）。因此，可以认为两种计算结果是相同的。这也证明，两种方法计算得的fmin是正确的。 注1：通常，混凝土试件强度最小值的合格界限（验收强度）fmin“应由P0 、P1 、α、β值综合确定”，亦即由P0 、P1 、α、β值综合确定的是抽样方案（n，c）。现在是抽样方案（n，0）已经确定，要求得不同n的fmin，fmin只决定于P0 。用抽样方案（n，0）中的n和接收概率pａ＝1－α代入本文中的式（3），就可计算得P0 ，并得fmin。所以P0 、fmin与 注2：公式（3）是指生产方在产品生产过程中必须将产品不合格率控制在该结果值以下。
笔者在“混凝土验收强度和配制强度的确定方法”一文中，以一次计量抽样方案确定混凝土验收强度和配制强度和相应的预期强度正态分布，再在预期强度正态分布的基础上，以最小值随子样大小增大而减小的统计规律确定混凝土试件强度最小值的合格界限（即验收强度）。受蔡海、杨建明的“试析《混凝土强度检验评定标准》GBJ107－87中的生产方风险”的启发，本文用一次计数抽样检验方案来确定凝土试件强度最小值的合格界限，以验证原先确定的是否正确。
一次抽样检验方案是根据一次抽样结果即作出是否合格判断的抽样方案。混凝土很快凝固，不可能进行二次、多次抽样，只能采用一次抽样方案。
计数抽样（也称计件抽样）通常适用于检验以不合格品率衡量的产品或以每百个产品平均缺陷数衡量的产品。最简单的一次计数抽样检验方案包含两个参数：一个是抽取的子样大小n；一个是判断检验批合格与否的合格判定数c，通常用（n，c）表示。检验批质量的判断规则是：从检验批中随机抽取大小为n的一个子样，检测子样中的全部产品，记下其中的不合格品数d，如果d≤c，则判为合格，予以接收；如果d＞c，则判为不合格，予以拒收。
对于不合格品率为p的一批产品，且总体大于子样很多时（混凝土属于这种情况），采用抽样方案（n，c），不合格品数d不超过c，接收这批产品的接受概率L（p），按二项分布计算为：
式中Cn0、Cn1、Cnc、Cnd为组合数的记号。如Cnd就是从n个不同的元素中，任取d个元素的组合数。详见有关概率论或数理统计的书藉。
利用式（1），可计算得各种抽样方案的不同合格品率p的接收概率L（p），绘在坐标纸上，就得抽检特曲线，也称OC曲线。示于图1。
确定混凝土试件强度最小值Xmin的合格界限（验收强度）fmin，和计数抽样检验方案的通常应用方法不同。由于混凝土强度是连续分布，按正态分布计，则在预期强度正态分布N（fm，σ2）的基础上，取抽样方案为（n，0），由式（1）反算得正常混凝土的不合格品率P0 ，其相应的不合格界限，就是混凝土试件强度最小值Xmin的合格界限（验收强度）fmin。（注1）具体方法如下：
首先确定α，于是就确定了接收概率L（p）＝1－α；因为是求试件强度最小值Xmin的合格界限（验收强度）fmin，子样（试件）中不应有小于fmin的强度出现，故判定合格与否的接收数c应为0，则这时取抽样方案应为（n，0）。不合格品数d＝0，判为合格，予以接受；如果d＞ 0，则判为不合格，予以拒收。再按式（1）得正常混凝土的接受概率为：
＝1×1× （1－p0）n＝ （1－p0）n （2）
（注2）
再同参考文献［1］按最小值Xmin随子样增大而减小的统计规律确定fmin一样，在预期强度正态分布N（fm，σ2）的基础上，取第Ⅰ类错误α＝10%，则接收概率为pa＝1－α＝90%，，代入式（3）就可计算得不同n时的正常混凝土的不合格品率为：
上式表明，不合格品率P0 随抽取试件组数n的增多而减小。（注3）
由所得的不合格品率P0 ，查正态分布表得相应的正态偏差tp0
，于是由式（4）计算得不合格界限，就是试件强度最小值Xmin的合格界限（验收强度）fmin，并示于图2。
图2 按一次计数抽样检验方案确定fmin的图示
由于P0 ＜50%，tp0是负值，且随P0 的降低而减小，所以fmin随试件组数n的增多而减小。
例如当n＝4时，由式（3）得P0 ＝2.6%，（注4）查正态分布表得相应的tp0 ＝－1.94，代入式（4）得：
重要结构的配制强度fm＝fa＋0.64σ＝f0＋1.46σ
＝fc＋3.11σ
一般结构的配制强度fm＝fa＋0.64σ＝f0 －1.28σ
＝fc＋2.93σ
式中fa———混凝土试件强度平均值的验收强度；
f0 ———设计强度正态分布的平均值；
fc———设计强度标准值，与设计强度等级值等同。
则得混凝土试件强度最小值Xmin的合格界限（验收强度）：
重要结构的fmin＝fm－1.94σ＝fa－1.30σ
＝f0 －0.48σ＝fc＋1.17σ；
一般结构的fmin＝fm－1.94σ＝fa－1.30σ
＝f0 －0.66σ＝fc＋0.99σ。
当n＝4时，参考文献［1］按最小值Xmin随子样增大而减小的统计规律确定得：
重要结构的fmin＝fm－1.93σ＝fa－1.29σ
＝f0 －0.47σ＝fc＋1.18σ
一般结构的fmin＝fm－1.93σ＝fa－1.29σ
＝f0 －0.65σ＝fc＋1.00σ
以上对比计算表明，按一次计数抽样检验方案计算得的fmin仅偏小0.01σ。
其它不同试件组数的对比计算结果列于表1。结构分类 重要结构 一般结构 确定方法 参考文献［1］ 计数抽样方案 参考文献［1］ 计数抽样方案 n＝2 fc＋2.09σ fc＋2.07σ fc＋1.83σ fc＋1.82σ n＝3 fc＋1.53σ fc＋1.51σ fc＋1.32σ fc＋1.30σ n＝4 fc＋1.18σ fc＋1.17σ fc＋1.00σ fc＋0.99σ n＝6 fc＋0.75σ fc＋0.73σ fc＋0.60σ fc＋0.58σ n＝9 fc＋0.37σ fc＋0.35σ fc＋0.25σ fc＋0.23σ n＝15 fc－0.04σ fc－0.05σ fc－0.13σ fc－0.15σ n＝25 fc－0.38σ fc－0.40σ fc－0.46σ fc－0.47σ n＝50 fc－0.79σ fc－0.80σ fc－0.84σ fc－0.85σ
图3 不同试件组数n的fmin
P1 、β无关。
图4是4条抽样方案为（n，0）的抽检特性曲线。n增大，曲线向左移。若pａ 固定（如为0.90），即α固定（如为0.10），随n的增大，P0 减小。相应地，fmin随n的增大而降低。这就是本文所求的。另一方面，若固定β（如为0.10），随n的增大，P1 也减小；若固定P1 ，随n的增大，则β将随之减小。所以图1也清楚地表明，当抽样方案（n，0）确定后，P0 （相应的fmin也是）只随n和α或相应的pａ 变化，不受P1 、β影响。
图4 4条抽样方案为（n，0）的抽检特性曲线
注3：该公式中的混凝土的不合格率，是产品生产过程中已确定的，在检验验收时是一个已经明确的具体值。一旦抽样检验方案明确后，在抽检检验时，产品合格率也已确定，且不可改变，此时讨论的是该产品接收概率问题。即在产品合格率已明确时，按此抽样方案检验时的生产方和使用方（双方）的风险α、β。
注4：此处n＝4，p＝2.6%的含义应该是：当抽样组数为4，使用方接收概率为90%时，生产方的产品不合格率应该不大于2.6%。
参考文献
［1］戴镇潮．混凝土验收强度和配制强度的确定方法［J］．
［2］蔡海，杨建明．试析《混凝土强度检验评定标准》GBJ107－87中的生产方风险［J］．
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