基本事实和公理的区别

“公理”是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识并作为判定其它命题真假的根据，经过人类长期反复的实践检验是真实的，大家普遍公认的、不需要由其他判断加以证明、且也不能由其他判断证明的命题和原理。一些学科就是建立在这样一些公理的基础上；“基本事实”是说人证物证都在，逻辑上能说明它是正确的。

公理的历史发展

经由可靠的论证（三段论、推理规则）由前提（原有的知识）导至结论（新的知识）的逻辑演绎方法，是由古希腊人发展出来的，并已成为了现代数学的核心原则。除了重言式之外，没有任何事物可被推导，若没有任何事物被假定的话。公理即是导出特定一套演绎知识的基本假设。

公理不证自明，而所有其他的断言（若谈论的是数学，则为定理）则都必须借助这些基本假设才能被证明。然而，对数学知识的解释从古至今已不太一样，且最终“公理”这一词对今日的数学家眼中和在亚里斯多德和欧几里得眼中的意思也有了些许的不同。

古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。

“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。

在各种科学领域的基础中，或许会有某些未经证明而被接受的附加假定，此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的，而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。确实，亚里斯多德曾言，若读者怀疑公设的真实性，这门科学之内容便无法成功传递。

传统的做法在《几何原本》中很好地描绘了出来，其中给定一些公设（从人们的经验中总结出的几何常识事实），以及一些“公理”（极基本、不证自明的断言）。