兰切斯特方程

　　在1916年，英国人兰切斯特研究空战最佳编队，发现了兰切斯特方程。远距离交战的时候，任一方实力与本身数量成正比，即兰切斯特线性律。在近距离交战的时候，任一方实力与本身数量的平方成正比，即兰切斯特平方律。兰开斯特方程本来就是解算三军作战的通用方程,至于远程近程的火力以及精确度,那是计入战斗能力系数。兰开斯特方程推测三军作战,首先就要得到双方的战斗能力系数,这个战斗能力系数是否接近实际才是战前推测是否准确的关键,如果战斗能力系数就是推断错误的,那按照方程推测出的作战结果就与现实大为不符。

　　美国与伊拉克的战争就是证明,兵力伊拉克优势但战斗效能系数,美国绝对优势,美国的战斗效能系数就是依靠先进的武器,当这一差距过大时,所谓的数量优势就 毫无作用了,所以比较时不但要比总兵力,还要比双方各兵种的毁伤战力士气,才能得到双方的总体战斗效能系数,按照已经发生的结局看,美军的总体战斗效能系 数高于伊拉克几百倍,伊拉克想凭数量优势取胜的可能性为0。

　　一战前夕，多才多艺的英国人兰切斯特开创了半经验的作战模拟方法，建立了经典的兰切斯特方程。兰切斯特用平方律定量地解释了特拉法尔加海战中纳尔逊各个击破的成功诀窍（人称Nelson Touch），恩格尔在54年用线性律精确地复现了硫磺岛中美军伤亡情况。

　　所谓“兰切斯特方程”，是适用于远程火力战的一个理想化计算方式。比如敌我力量对比有差距，军队素质相同，在以登陆、接舷为主的海战中，只有直接接触敌人才能作战，双方能发挥的杀伤力差不多，数量优势一方可通过慢慢消耗掉对方才能赢得胜利。而一旦海战进入了机动炮战时代，不必直接接触就能与敌人交战，因此拥有数量（人力、火力）优势的一方，不仅在承受损失的能力上高于对方，而且在杀伤敌人的能力上也高于对方。随着作战进行，这一优势会越来越大。所以，保持一支比敌人强大的舰队，就意味着拥有了独立的海权。

　　经典兰切斯特方程对士气、地形、机动、增援和撤退等没有考虑，但对战斗的一般规律仍有指导意义。

　　兰切斯特把战斗简化为两种基本情况：远距离交火和近距离集中火力杀伤。远距离交火时，一方损失率既和对方兵力成正比，也和己方兵力成正比，以微分方程表示即为dy/dt=-a*x*ydx/dt=-b*x*y其中x和y分别为红军和蓝军的战斗单位数量，a和b分别为红军和蓝军的平均单位战斗力，因此双方实力相等的条件为a*x=b*y即任一方的实力和本身战斗单位的数量成线性关系，也称兰切斯特线性律。这就是说，如果蓝军平均单位战斗力(包括武器、训练等因素)是红军四倍的话，100名蓝军和400名红军的战斗力相同，100名蓝军和400名红军交战的结果是同归于尽。集中优势兵力只是拼消耗，并不占便宜。

　　但近距离集中火力杀伤时，一方损失率仅和对方战斗单位数量成正比，而和己方战斗单位数量无关，即dy/dt=-a*xdx/dt=-b*y双方实力相等的条件变为

　　a*x^2=b*y^2

　　即任一方实力和本身战斗单位数量的平方成正比，也称兰切斯特平方律。仍假定蓝军平均单位战斗力是红军的四倍，100名蓝军和400名红军近战后，当蓝军100人全军覆没时，红军仍有sqrt(400^2-4*100^2)=346人留下(这里sqrt为平方根，^2为平方)，即损失54人。这就是集中兵力打歼灭战的数学依据，而且优势兵力一方的实际损失比劣势兵力的一方还小。

　　兰切斯特方程的推演的前提是建立在地形平坦上的，他所考虑的前提是双方同时开火，事实上，战争中由于种种原因，这个前提条件并不存在。

　　在战场上，兵力优势一方如果火力落后不是很多的话，那么越多的士兵进入射程内已放在单位时间内就能释放出更多的火力。比如苏军的大纵深作战理论，在东欧平原这样广阔的平坦土地上，苏军依仗巨大的人数优势，让尽可能多的火力单位进入射程，德军在交战中往往在第一时间就被苏军炮火打垮，只能依靠装甲部队频繁“救火”维系濒临崩溃的防线。火力射程越远，可以投入的火力就越多，在单位时间内给敌军的杀伤就越大。从这个意义上说，兰切斯特方程还是很有道理的。

　　不过模拟毕竟是模拟，兰切斯特的模拟中没有包含地形和士气，因为很少有军队能战斗到最后一个人。首先说地形，战役中最重要的一条就是战场容积问题。简单的说就是军队能不能展开。兵力优势方会想方设法展开部队后发起攻击，增加自身火力攻击到对方的机会，也就是兰切斯特的第二条方程，近距离集火打击。因此，具有兵力优势的一方应当想办法在战场容积尽可能大的地方与劣势方交战。孙子兵法的说法是：善攻者，动于九天之上。联系孙子说的十则围之，五则攻之的说法，我们可以知道兵力优势方应尽量利用容积较大的战场“动于九天之上”尽量将兵力、火力投入到攻击中，动用的火力越多，战果越大。相反，兵力劣势的一方则要想办法选择容积较少的战场，迫使兵力优势方逐次使用兵力。斯巴达300勇士相信不少人都看过了，在兵员素质占有，而人数占绝对劣势的情况下，斯巴达人选择了温泉关作为战场，迫使波斯军队不得不逐次投入轻步兵冲击，在兵员素质，装备全面劣势的情况下，波斯军队阵亡2万，始终无法攻克温泉关。但当波斯人绕过关卡迫使斯巴达人在比较开阔的地形交战后，波斯军队万箭齐发，300勇士瞬间变成了刺猬。这个属于古代战争，似乎与兰切斯特方程无关，但是相关原理是一样的。当方阵对决时，波斯和斯巴达双方都只有前面的士兵发扬火力，战斗结果遵循兰切斯特方程1，波斯士兵素质低下，交换比惊人，结果当然是死伤惨重。进入开阔地后，波斯弓箭手集火打击，火力迅速提升，斯巴达人的火力基本不变（攻击的还是前排士兵），根据兰切斯特方程2的结果就是斯巴达人全灭。

　　兰切斯特方程的成立是建立在现代战争条件下的，因此对古代战争并不合适。但是基本原理仍然是一致的，既计算单位时间内己方部队对敌方的伤害输出。从多方资料来看，方程1的远程输出伤害的情况是模拟火炮，也就是战斗单位的火炮效能。这个理解可能有一定偏差，但是由于本文属于闲聊性质，不是论战，所以不打算去找了。在一定的战场容积中，劣势装备一方将遭到更大的伤亡。简单的说就是一炮下去，你站一个人也是报销，站两个人也是报销。方程2的模拟应该是近距离火力杀伤。还是举hinatou老兄的例子，蓝军100人，火力4，生命1。红军400人，火力1，生命1。现在双方同时火力输出，按照命中率1%计算，t1时间内，红军输出400，命中4，蓝军减员4人，蓝军输出400，命中4，红军减员4。实际上，本人这样推算一个微积分问题很无聊，但是本着照顾论坛上大量的90后的人道主义精神，本人勉强推演几步。t2时间，红军输出396，蓝军输出384，判定双方各伤亡4，t3时间，红军输出392，蓝军368，仍判定伤亡各4，事实上这样算红军已经吃亏了。t4，红军输出388，蓝军352。好了，我不再无聊了，有兴趣的人可以继续推下去，最后的结果正如兰切斯特所料，红军以54人的代价全灭蓝军。事实上，在解放战争中，老蒋的部队绝少有顽抗到50%的，就连74师也是被俘19000人。而某人用兰切斯特方程推演硫磺岛的时候结果十分接近，估计是小鬼子比较顽强的结果。

　　本人所理解的兰切斯特方程1的符合条件是双方仅有少量部队接触的情况下的作战结果，而方程2的符合条件是双方全部接触情况下的作战结果。

　　从兰切斯特方程可以看出，质量占优的一方如果能限制数量优势方的火力输出人数那么将很有希望获胜。比如温泉关的斯巴达人，官渡的曹操。一旦数量优势方在有限战场上战败，那么溃退的部队将迅速压垮后方未参战的部队。比如赤壁之战中的荆州兵就在战役开始阶段压垮了曹操的主力青州兵，最终造成了毁灭性的崩溃，彭城之战中，项羽的三万骑兵突袭不断地摧毁着刘邦军队的抵抗意志，以致兵败如山倒，溺毙十万余人。（笔者注：没看过山倒的人可以参考世贸大楼的倒塌）在抗战中，国军屡次溃败均是前锋部队因种种原因溃退，导致整体的崩溃。遗憾的是，由于军纪涣散，国军不管在抗战期间，还是在解放战争期间，在面对拥有强大精神信仰支撑的敌军面前屡次溃败，不得不“转进”台湾。在战场上，溃败的己方部队是比敌方更危险的敌人，所以斯大林的话其实一点没错（笔者注：原话不记得了，大概是不饶恕叛徒和懦夫），那些责怪斯大林嗜血的人丝毫没有考虑过在损失了几乎全部的西方面军精锐的情况下，任何一个人的逃跑都有可能带来整个战线的崩溃，而在当时，大量未经训练的新兵是极其容易出现溃逃现象的。如果不坚决的处决逃兵，那么像国军一样一溃千里就不是什么梦想了。估计有人要问，为什么同是素质低劣的士兵，国军成建制溃败，苏军却能坚守阵线呢？道理很简单，因为国军的头头们都是带头跑的。己方部队溃逃，带来的后果就是屏蔽了己方的火力输出，造成被动挨打的局面，更糟糕的是溃兵会冲散己方阵型，打击己方士气，造成更大的溃败。前锋必须是精锐的道理除了不能轻易溃退外，更重要的是溃退的时候要跑得快，这个例子可以参照宋辽白马岭之战，敌前涉渡的辽军大溃，（哪个白痴想出来的主意，敌前涉渡，我无语了）幸亏辽军骑兵居多，跑得飞快，当宋军追来的时候后军的辽军已经扎好了阵型，总算避免了全军被追杀的命运。

　　下面说说质量与数量的关系。在古代，为了在单位正面上投入尽可能多的士兵，西方国家往往采用密集阵，但是机枪发明以后，士兵不得不尽量分散，在士兵分散的情况下，单位战场容积下的士兵数量是一个确定值。那么，提高火力的办法只能是提高质量，比如士兵的体力，枪法，步枪射速，持续火力，等等。但是实际上，在一定战场中保持饱和值的步兵是不明智的，因为在远程火力盛行的今天，增加某个地区的士兵数量就等于增加了敌军远程火力的毁伤效果。但如果士兵数量过少，那么正面的士兵遭到近距离打击时将迅速崩溃。为了能尽可能多的增加正面的士兵，最好的办法就是增加士兵的装甲防护，也就导致步兵战车的出现。

　　防守一方冲出阵地和敌人混战的战术叫做：反冲锋。防守方发起反冲锋的前提是：

　　防守方的阵地设计得很草率，很简陋，防守方没有合理的阵地纵深，交叉火力，无法利用火力来防守阵地。为了提高防守方的士气，只能和敌人进行近战、混在一起，降低敌人后方的炮火打击。

　　这是一种无奈之举，更是影视中习惯用的描写。实际上阵地战出现反冲锋是很少的。

　　战争史上著名的攻防战，如日俄战争中的旅顺攻防战、朝鲜战争中的金城阻击战、自卫反击战中的各种攻防战中防守方都是依靠坚固的阵地，各种火力来消灭敌人。阵地修建都比较系统化、科学而复杂，不是简单的挖一条沟就完事。合理的阵地士兵根本不需要冲出去，那是白白浪费士兵的生命。像上甘岭战役，敌人虽然占领了表面阵地，但我军占据了坑道，美国那么强大的战斗力也奈何不了我军，说明坑道阵地的坚固性。

　　下面回到人民解放军这里，既然现代战争条件下某一单位战场的士兵数量不能超过一个饱和值，那么解放军是如何做到集中优势火力打击敌人的呢？在历史上，我们的先烈确实做到。要了解解放军如何发挥集中兵力的优势，首先要了解解放军的几个经典战术。

　　经典战术一：夜间接敌。为了能使尽可能多的使敌军进入我火力圈，远程火力劣势的解放军经常采用夜间接敌，凌晨攻击的作战模式，这个hinatou老兄已经阐述，不再啰嗦。

　　经典战术二：小分队渗透。奇袭白虎团，奇袭武陵桥，解放军的小分队游记战术是取胜法宝之一。以精干的小规模部队渗透到敌军后方，进行破袭作战可以有效打乱敌军部署，瓦解敌军意志。从兰切斯特方程可以看出，渗透的小分队可以增加我火力圈范围，提高单位时间内火力输出。天生就是被包围的伞兵何尝不是天生在包围敌人。

　　经典战术三：伏击。伏击也是提高火力输出效果的有效手段，在面对行军状态的敌军时，密集的人群可以增加己方命中率和爆炸弹丸杀伤效果。

　　经典战术四：重兵合围。既然单位面积的火力有限，那么只要增加接触面积就可以增加火力强度。从这个意义上说，包围和战术上的包抄也是符合兰切斯特方程的。目的也在于发挥数量优势。

　　最后强调一点，数量优势是建立在质量上的。一般来说，交战双方的质量优势不应低于10：1，否则基本就没打了。在计算中，如果劣势方集中3倍的兵力仍无法打破优势方火力优势的话，那么我们认为优势方基本可以做到不怕包围这样极端的情况。比如在孟买用AK对抗利菲尔德步枪的恐怖分子。

　　兰切斯特方程式的核心就是：在技术装备、训练上占优势的一方，应采取远距离打击的方式消耗对方；而劣势一方只有设法拉近距离，和对方进行近战才有可能挽回局面。

　　兰切斯特方程证明，相同战斗力和战斗条件下，1000对2000人作战。几轮战斗下来。多方只要伤亡268人就能全歼1000人的队伍，兰切斯特方程特别适用于现代战争中分散化军队和远程火炮配置发生的战斗，远距离战斗比如炮战、空战、舰队海战很可能出现兰切斯特方程的理想情况。

　　假设：

　　蓝军100人，火力4，生命1。

　　红军400人，火力1，生命1。

　　现在双方同时火力输出，按照命中率1%计算。

　　t1时间，红军输出火力400，命中4，蓝军减员4人，蓝军输出400，命中4，红军减员4。

　　t2时间，红军输出火力396，蓝军输出384，判定双方各伤亡4。

　　t3时间，红军输出火力392，蓝军368，仍判定伤亡各4，事实上这样算红军已经吃亏了。

　　t4时间，红军输出火力388，蓝军352。

　　有兴趣的人可以继续推下去，最后的结果正如兰切斯特所料，红军以54人的代价全灭蓝军。事实上，在解放战争中老蒋的部队很少有顽抗到50%的，部队阵亡接近一半的时候，部队要么溃逃了，要么投降了。而某人用兰切斯特方程推演硫磺岛的时候结果十分接近，估计是小鬼子抵抗比较顽强的结果。

　　三大战役的时候，解放军在许多时候并没有绝对的兵力优势，同样歼灭敌人，则是利用兰切斯特方程各个击破。

　　200名解放军和400名国军交战，双方实力相等(sqrt(400^2-4*200^2)=0)。如果解放军通过战术动作或计策使国军分成各为100人但互不支援的两半，则解放军可以54人的代价先歼灭国军的第一个100人，再用剩余的力量以64人的代价歼灭国军的第二个100人，解放军总代价为118人，总战果为200人。这就是“各个击破”原则的数学解释，也是兵败如山倒的数学解释，因为兵败的典型特征是各自为战，首尾不顾，在客观上强化了被各个击破的机会。

　　假设联合国军100人，志愿军400人，双方火力差距为4：1的情况，但双方距离很远。如果志愿军军付出一半的代价推进到近距离，按4:1的线性律，这时志愿军还剩200人，联合国军50人，但接下来志愿军就可以发挥近战优势，以27人的代价消灭联合国军的第二个50人。这就是勇猛突破、近战歼敌以克服敌人远射火力优势的数学解释。而在实战中志愿军经常在夜战发动攻击，缩短交战距离克服敌人远射火力优势。联合国军胆子小，很多时候志愿军冲击到离己方阵地三四十米的距离，联合国军就开始溃逃了。

　　而且火力必须依靠足够的弹药才能持续下去的，很多时候士兵经过两个小时的战斗，士兵身上的弹药就消耗完了，如果是经验不足的新兵不到一个小时就打光子弹了。抗美援朝的时候，我军经常派出经验丰富的老兵，在美军射程外向美军射击，然后马上隐蔽，引诱美军开火反击，消耗美军弹药，再发起全面攻势。

　　可是有一次战役，志愿军成功突破联合国军第一道防线，李奇微下令部队死守第二道防线，并把坦克和装甲车连成钢铁防线，充分发挥火海战术优势，还空投大量弹药保证火力延续。志愿军侦察情况不明，指挥混乱，火力尤其是炮兵火力不足，几经激战，虽然将敌人压缩在不足几平方公里的地块里，但最终无法解决，在遭受重大伤亡的情况下，被迫撤出战斗。