⊕ B = ( A ⊙ B )ˊ
A ⊙ B = ( A ⊕ B )ˊ
复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式
（见对偶定理）
2.3.2 若干常用公式
（见逻辑函数化简方法之公式化简法）
2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理（相当于初等代数中的换元）
任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2 反演定理
对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的 “ · ”换成“ + ”，“ + ”换成“ · ”，
“ 0 ”换成“ 1 ”，“ 1 ”换成“ 0 ”，
原变量换成反变量，反变量换成原变量，
则得到的结果就是Yˊ。
注意两条规则： - 先括号的最内层，后括号外；先乘，后加的运算优先次序。
- 若反号“ˊ”下面不是单个变量，则反号保留不变。
两个得·摩根定理，不过是反演定理的特例而已。 ( A · B )ˊ = Aˊ+ Bˊ
解释一下：若将式子右边Aˊ+ Bˊ用反演定理变换一下，则得到其反演式 A · B，既然A · B和Aˊ+ Bˊ值相反，则再对A ·B求反，其结果( A · B )ˊ则正好与式子右边的Aˊ+ Bˊ相等。
( A + B )ˊ = Aˊ· Bˊ
2.4.3 对偶定理
对偶式 对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的
“ · ”换成“ + ”，“ + ”换成“ · ”，
“ 0 ”换成“ 1 ”，“ 1 ”换成“ 0 ”，
则得到的结果就是Y的对偶式。
注意：与反演定理的区别在于，没有涉及原变量和反变量的互换。
对偶定理 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
8对对偶式的例子（来自基本公式，每行左右两式互为对偶式） 0 · A = 0 1 + A = 1
1 · A = A 0 + A = A
A · A = A A + A = A
A · Aˊ= 0 A + Aˊ= 1
A · B = B · A A + B = B + A
A · ( B · C ) = ( A · B ) · C A + ( B + C ) = ( A + B ) + C结合律
A · ( B + C ) = A · B + A · C A + B · C = ( A + B ) · ( A + C ）分配律
( A · B )ˊ = Aˊ+ Bˊ ( A + B )ˊ = Aˊ· Bˊ得·摩根定律（注意，这两个等式整体上互为对偶式。每个式子的左右是反演关系再求反，对比反演定理。）
2.5 逻辑函数及其表示方法
2.5.1 逻辑函数
【逻辑函数（LogicFunction），就是以逻辑变量（A、B、C、Y……）为自变量&因变量，以逻辑运算（·与、或+、非ˊ）作为映射方式(F)的函数。】写作：
Y = F(A,B,C……)
因其定义域和值域都是{0,1}，输入和输出的取值都只有0和1两种状态，故又称二值逻辑函数。
【问】为什么逻辑函数里没有蕴含运算符（->）？
【答】函数的等号（=）、或曰映射关系本身，就表明了蕴含关系(->)，即“若自变量，则因变量”也就是说函数关系体现了客观世界中的因果关系。所谓数学建模，就是在之前没有认识到有联系的自变量（输入）和因变量（输出）之间，用函数的形式，建立起因果关系。
2.5.2 逻辑函数的表示方法（4种/6种）
常用的逻辑函数表示方法有6种：逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图、硬件描述语言。
一、 逻辑真值表（枚举法）
将输入变量所有的取值下，对应的输出值找出，列成表格，即成逻辑真值表。
二、逻辑函数式（函数法）
又称为逻辑式或函数式。将输出&输出之间的逻辑关系，写成与、或、非等运算的组合式，即逻辑代数式。
【所谓的用布尔代数的符号（与或非算符），表示逻辑关系】
如举重裁判规则，就可以用逻辑函数式对应的表示出来。三个裁判各自的判决，作为3个输入变量；最终的裁判结果，作为输出；而从输入到输出的逻辑关系，则用逻辑运算符表示。即：
Y = A · (B + C) (见书P29-30)
三、逻辑图（Logic Diagram）
将逻辑函数式中，各变量之间的与、或、非等逻辑关系，用图形符号表示出来，就可以画出表示函数关系的逻辑图。即把逻辑运算符，替换为图形符号。
上面两图，即是把逻辑函数式f = xˊ·y + x · yˊ + x ·z中的与(·)、或(+)、非(·)运算符，替换成图形符号后，形成的逻辑图。
（左图保留了非(·)运算符，并没有替换；右图把3种运算符都替换了）
原图在此：
http://book.51cto.com/art/200901/107671.htm四、波形图（Waveform）、时序图（Timing Diagram）
将逻辑函数输入变量的每一种可能的取值，与对应的输出值，按照时间顺序依次排列起来，就成为表示该逻辑函数的波形图。
（见教材P31）
五、各种表示方法间的转换
从真值表——>逻辑函数式的一般方法（教材P32）【相当于从分散的实验数据——>数学模型，居然有一般方法，比较强！】
1.从真值表中，找出使得输出变量Y = 1的输入变量所在的行，以及每行输入变量取值的组合；
2.将1种所找出的输入变量的各行组合，对应于一个乘积项；其中，取值为1的输入变量用原变量，取值为0的输入变量用反变量。
3.将这些乘积项相加，即得到Y的逻辑函数式。
逻辑函数式<——>逻辑图（教材P33）【函数式和逻辑图，直接体现了输入和输出的逻辑关系。二者高度同构，可直接转换。函数式中的运算符，对应于逻辑图的图形符号。】
转换时，注意运算优先级。
真值表<——>波形图【真值表&波形图，是用枚举法列出所有取值，但不能直接看出输入和输出的逻辑关系。二者高度同构，可直接转换。真值表的每一行，对应于波形图的每一列。
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式 —— 最小项之和 & 最大项之积
一、最小项
在一个n个逻辑变量的逻辑函数中，若某乘积项m中包含所有n个变量，且这n个变量均以原变量或反变量的形式，在m中出现且只出现一次，则称乘积项m为该组变量的最小项。
例：A、B、C三个变量的最小项有：AˊBˊCˊ、AˊBˊC、AˊBCˊ、ABˊCˊ、AˊBC、ABˊC
、ABCˊ 、ABC，共8个，即2^3个最小项。
n个变量，应有2^n个最小项。
二、最大项（略，教材P36）
三、最小项之和
（待续）
四、最大项之积（略，教材P37）
2.6 逻辑函数的化简方法
（待续）
2.7 无关项及函数化简
2.7.1 逻辑函数中的无关项：约束项和任意项
约束某些逻辑函数，它们的输入变量（A、B、C……）的取值不是任意的。对输入变量取值所加的限制，成为约束。将这一组变量，称为具有约束的一组变量。也就是说，输入变量只能取特定的一些值，或特定的一组值。
如：三个逻辑变量A、B、C，分别表示一台电动机的正转、反转和停止的命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。【问】那A=0、B=0、C=0时，表示什么呢？也许是无意义，或预留。
而任一时刻，电动机只能执行其中的一个命令，所以，不允许两个以上的变量同时为1，这就是对ABC这三个输入变量取值的约束。
也就是说，A、B、C三个输入变量只能是以下三种取值的组合（并对应3个逻辑函数）：
A=1，B=0，C=0，即100；逻辑函数：Y1 = ABˊCˊ（正转）
A=0，B=1，C=0，即010；逻辑函数：Y2 = AˊBCˊ（反转）
A=0，B=0，C=1，即001；逻辑函数：Y3 = AˊBˊC（停止）
其它5种取值组合，000（即A=0、B=0、C=0这种取值组合是不允许出现的）,011,101,110,111，则不被允许。这就是对A、B、C这3个变量的约束条件。
如何表示约束条件？ 用上面的自然语言显然很不方便，最后用简单、明了的逻辑语言表示约束条件。
【可见形式系统、符号化的数理逻辑，较之自然语言的优势。】
如果某些输入变量的取值，不允许出现；可以用这组变量所对应的最小项恒等于0的方式，来表示这些输入变量的取值不能出现。
【问】为什么可以用变量对应的最小项恒等于0的方式，来表示约束条件呢？
【答】因为每一组输入变量的取值，都对应1个、且只有1个的最小项（使其取值为1）——这组输入变量取值，可以使得该最小项的各个因子的值都为1，那么整个乘积项、也即是最小项的取值为1。
那么，如果某最小项恒等于0，则表示那个可以使得这个最小项的取值为1的那组输入变量的取值，是不允许出现的。
则上面例子中的5个约束条件，就可以用逻辑语言表示为：
AˊBˊCˊ=0
AˊBC =0
ABˊC =0
ABCˊ =0
ABC =0
【以第4个约束条件为例：使得最小项ABCˊ=1的那组输入变量的取值为：A=1、B=1、C=0，如果ABCˊ=0，即ABCˊ恒等于0，也即使得最小项ABCˊ为1的那组输入变量的取值，即A=1、B=1、C=0，是不允许出现的。】
且，以上5个约束条件可以合并在一起表示：
AˊBˊCˊ + AˊBC + ABˊC + ABCˊ + ABC = 0
【因为每个最小项都恒等于0，那么他们的和也恒等于0】
约束项
前面那些恒等于0的最小项，即逻辑函数的约束项。
【一定区分：约束项（如ABC）是最小项，是自变量的乘积；而约束条件约束的，是输入变量（A、B、C）的取值。用约束项恒等于0（ABC=0）的方式，来表示使得这个约束项取值为1的那组输入变量的取值，是不允许出现的。】
因为约束项的值恒为0，所以既可以将约束项写进逻辑函数式，也可以从逻辑函数式中删除约束项，而不影响函数取值。
【约束项也是最小项，就像初等代数中的项一样，即各个因式相加，则加上和减去一个0，整个式子的值是不变的。】
任意项
在输入变量的某些取值下，函数的输出值是0还是1皆可，并不影响整个电路的功能。【这个局部函数，此时在整个电路中，已经不起作用】。将在这些变量取值下，对应的取值为1的那些最小项，称为任意项。
【输入变量的取值是（部分）固定的，函数输出可能是0，可能是1，但这已无所谓。当输入变量取这些值的时候，肯定有一个对应的最小项可以取值为1，它的取值也是固定的。那么，这个最小项即为任意项。】
以之前的电动机为例。如果把电路设计成A、B、C这3个输入变量出现两个以上同时为1或者全部为0时，电路自动切断供电电源，则这时候电路中的逻辑函数Y1、Y2、Y3等于0还是1已经无关紧要。
【问】为什么输入变量确定了，函数输出还可能有0有1呢？
【答】其实，输入变量只是部分固定。如：当A和B都取1时，电路已经切断电源，此时C的输入值有可能是0，有可能是1。那么最小项ABC的值，也可能是0，也可能是1。当C= 0时，ABC = 0； 当C = 1时，ABC = 1。其实，这个时候变量C的取值，也已经没有意义了。
【当然，此时逻辑函数Y1 =ABˊCˊ，肯定取值为0。但是，这个时候，函数Y1是不是输出正转命令，已经没有意义了，因为整个电路已经切断电源了。也就是说，函数Y1的取值已经没有意义了。
那么，如果我们把（C=1时的）最小项ABC，加入函数Y1，则Y1 = ABˊCˊ + ABC = 0 + 1 =1；如果不把最小项ABC,加入函数Y1，则Y1 = ABˊCˊ = 0。
但是，因为在输入变量A和B都取1的情况下，函数Y1的取值是1是0，已经没有意义了，则函数Y1是否加上最小项ABC，也已经没有意义了——故而，称最小项ABC是函数Y1的任意项。】
无关项
约束项和任意项，统称为逻辑函数式中的无关项。这里说的无关项，是指是否把这些最小项写入逻辑函数式，无关紧要，可以写入，也可以删除。
【但是无关紧要的原因不同。约束项是因为恒等于0，加上0或减去0，整个函数式的值不变；而任意项是说，不管任意项的取值是0还是1，即使任意项的增删使得整个函数式的值变化了，也无所谓。因为使得该任意项对应的（即使该任意项取值为1的）那组输入变量的取值，使得整个函数式没用了。】
所用教材：《数字电子技术基础（第5版）》 作者：阎石
http://book.douban.com/subject/1836439/ 
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