数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍
到了21世纪，数学已成为一门广阔而多层面的学科。她涵盖的活动类别是如此宽广，看起来几乎不可能将其种种表现归类于单一学科之中。一方面，她界定了诸如计数、时间和金钱等使日常生活得以运转的事务的基本要点，而另一方面，她看来就像一个密封的世界，在那里，一些不食人间烟火的伟大头脑炮制者无比复杂的谜题——接着他们再经年累月地尝试着去解决那些谜题。与此同时，我们的政治家们一如既往地宣称着：我们需要更多的数学家。那么，所有这些数学究竟有什么意义，她又是如何融入我们这个世界的呢？
我们今天所看到的数学根植于早期计数文化，其源头可追溯至大约公元前3000年。当然，数学一开始时只是用来处理实际问题。诸如市场商贸、税款支付、土地丈量、仰观星辰和历法设计等问题都要应用到数字、计算和某些基础的几何知识。但是过了大约一千年，埃及人开始研究他们所使用的数字系统的性质，而不大考虑是否具有明显的应用价值。他们还处于好奇心与智力上的愉悦感而创造数学谜题，就像我们今天享受报纸上的那些数独游戏一样。数学开始关注自身，数学家由此而产生。
大约公元前500年时，古希腊人在数学方面实现了巨大的跨越，一种真正具有数学思想的文化繁荣发展起来。他们的著作影响了其后的各个时代，直到今天仍为我们所研究。数学被视为最有用出的，因而成为正统教育中的固有组成部分。毕达哥拉斯、柏拉图、阿基米德和欧几里得只是那些推崇数学并影响后世千百年的希腊先贤中的一部分代表人物而已。
基督教时代的前几个世纪是倒退时期，那些热衷于数学的人会发现他们被驱逐到了文化世界的边缘。大约在公元400年时，希波的圣奥古斯丁提出“一个好的基督徒应该提防数学家和那些作出空洞预言的人”，谴责他们签订了“与魔鬼之间的契约，去蒙昧人们的心灵，将人们束缚于地狱的枷锁之中”。在那个年代里，与数学家这个词紧密联系在一起的是占星术的邪恶行径，人们认为数学在潜在意义上是邪恶的异端主张，这种猜忌使数学在很长时间里毫无进展。
在16世纪，哲学家佛朗西斯 培根哀叹“纯粹数学之出色用途”仍未为人透彻地理解，不过有一件事标志着情况开始好转，伽利略获得了帕多瓦大学的数学教授职位。伽利略与罗马天主教之间的冲突（即教廷对他的某些发现的抵制）表明，当时的人们对于数学以及数学对物理学和天文学的影响作用的接受程度仍是很有限的。但是到了17世纪晚期，一场数学与科学的变革发生了，主角是伊萨克 牛顿和他的同时代者，他们永久性地改变了文化世界中的力量平衡。18世纪末和19世纪初的浪漫主义者可能会指责这种新的世界观，威廉 布莱克也许会嘲讽牛顿，但是作为科学的语言，数学已前途无忧。19世纪初，数学系在各地大学中陆续设立，大批新颖而有挑战性的研究著述不断涌现。数学从此得到普遍认可。
（一）实用性与纯粹性
关于数学有一种广为人知的争论，即究竟是实际需求孕育了数学创造，还是新的数学知识给世纪应用创造了机会。从历史的角度来看，对实用性的考虑是数学发展的驱动力，但是当这门学问的内在生命开始萌发后，“纯粹的”数学思维就有可能独自为新的应用创造空间。好的数学基本上都具有应用潜能，但是你绝对不知道应用的时刻会在什么时候来到。敏锐的洞见也许会在下个星期出现，但也可能沉寂达50年甚至500年之久。
在数学发展的历史长河中，遍布着纯数学理论找到实际应用的例子。古希腊人精心建立了圆锥曲线的理论，后来人们发现，这正是17世纪时约翰尼斯 开普勒与伊萨克 牛顿断言行星以椭圆轨道运行时所需要的工具。多维数组的理论（矩阵代数）是在19世纪50年代为处理数学内部问题而建立起来的，而它恰好就是70年后快速发展的量子理论中的“矩阵力学”所需要的。而当乔治 布尔建立一个将逻辑转化为代数（即布尔代数）的系统时，他也绝对无法想到，他为一个世纪之后的计算机编程提供了语言载体。
就在50年前，富于影响力的英国数学家哈代还曾写道，他在从事数学研究时不会受限于必须为其思想找到“实际用处”的想法。事实上，令他感到欣慰的是，那时的数论仍是远离实际应用的。但是今天，他可能已无法再称许这种隔离状态，因为在这个世界中，他的纯数学对于计算机安全领域来说具有极其重要的意义（第14章和第20章）。今天我们有很多种关于维度的理论，但是当曼德尔布罗特在20世纪70年代中致力于“分形”研究时，大概很少有人会猜测出它们的潜在应用。
但是数学家确实也是在意需求的。在18世纪，詹姆斯 瓦特遇到了如何将蒸汽机中活塞的直线运动转化为旋转运动的问题，其结果是工业革命期间诞生了几何联动理论。当第二次世界大战需要密码破解者时（第14章），拥有非凡才能的数学家从中更多大学应征而来，结果是世界上第一台电子计算机的建成。
因此，纯粹数学与应用数学之间始终保持着一种共生关系，在电子时代，这一点更是显得格外真实。没有数学，计算机将一无是处，数字摄影技术根本不会出现，手机也将进入沉寂的世界。但是今天，职业数学家的“纯粹”研究也将大大受益于计算机的计算能力：这次轮到“应用数学”反哺“纯粹数学”了。
数学还有自我意识的一面，即她在哲学层面上反思自身的一面。关于这方面的历史呈现出这样一种发展历程：从古希腊人所认为的数学家揭示的只是早已存在的真理，到关于数学家角色的一种更为精巧的定位，其中涉及创造性和想象力。
在现代数学中，知识发展的基础在于公理和逻辑演绎。古希腊人预设了他们的公理的真实性，而今天的数学家则只期望公理是相容的。20世纪30年代，库尔特 哥德尔给数学带来了冲击，他证明了“不完备性定理”，这个定理之处，在一个形式化的公理系统中，某些数学命题在只使用该系统公理时既不能证明也不能证伪。换言之，当今数学中可能存在着不可证明的真理，因而也许只能保持现状。
尽管现代数学可以说是广袤而丰富的，其根基仍可如学校课程中那样划分为算术、代数和几何等分支。那么，它们的核心是什么？它们又将向何处去呢？
（二）数及其特性
在数学的保留节目单中，用以计数的数字始终保持着最为重要的地位，它们是所有数学家的起点。它们的演变历史可谓丰富多彩（第2章），毫无疑问，我们最终使用符号0~9来表示的“以10为基”的系统并不是必然的。比如，最开始时并没有0.
质数（只能被自身和1整除的数）的特性是非常让人着迷的研究对象。我们仍不清楚它们在计数数中是如何分布的，考虑到我们认识质数已超过2000年之久，这一点几乎是难以置信的。除了计数数和其中的质数之外，在几个世纪中这份节目单就扩展到还包括负数、分数以及通常所称的“无理数”，即无限不循环小数。所有这些合在一起，变式数学家所说的“实数”。
数的内容远不止于这些。“实数”还只是一维的。我们可以设想它们在数直线上向左方（即负数）和右方（即正数）伸展。当数学家们凭借我们所称的“复数”而勇闯二维世界时，一次伟大的飞跃来临了。它们在解方程和提供新的分析理论等方面为数学家带来了更强的力量。今天，“复数”对于诸如电和磁等现象的研究可谓至关重要。
于是，我们有了很多种类型的数，但是它们要延展到哪里才会是尽头？自古以来，数学家便注定要与无穷这一主题进行较量。自亚里士多德以来，人们就认为“潜无穷”是存在的——这是一种永远不可能到达的无穷。但是到了19世纪，格奥尔格 康托尔引入了另一种无穷的观念，使得我们有可能去讨论很多的无穷。
（三）几何、代数与数学中的变革
两千多年以来，几何学一直受控于古希腊人那似乎是无可抗拒的权威之下，直至今天，学生在校园中所接受的多种规则也是由他们制定的。特别是欧几里得，他依靠自己缜密的思维能力建立了一套呈现为如经典般真理的几何学知识系统。但是随着时间流逝，欧氏几何学逐渐暴露出不足，人们最终明白，还存在着其他有效的几何学可以用来处理二维、三维甚至更高维度的现象，并产生了“流形”的概念——这种形状的局部和整体具有不同性质的几何学。这些几何学甚至比欧氏几何更有资格宣称是“宇宙的几何学”，那可是一个深受物理学家关注的主题。
物理学家利用几何学去追索事物和宇宙的奥秘，生物学家和医学研究者则采纳了另一种类型的几何学，“纽结理论”，以便理解DNA的拆解和分析——这项实践引发了关于DNA检测的争议，并且在人类身份识别与案件侦破等问题中产生了不同的几何学，在这个工具箱中，科学家们开始选择看起来最适合于处理当前工作的工具。
将几何学转译为代数的语言是一个重要的转折点，这项发展应归功于17世纪的笛卡尔。在20世纪，对称的几何学也化身为代数学。对称性是一种难以描述的性质，在数学（以及在其他很多领域中）经常被用来定义美，现在我们可以用数学的“群论”来把握它了。群的概念在近世代数中处于核心地位，它使得对称性可以在微观尺度上进行考察。在一项可以追溯至19世纪的宏大研究项目中，数学家们最终于1981年完成了悠闲单群的分类。在这个“巨型定理”中，人们创造出一幅关于群的地图，所有的群都被划分到各族之中，此外还有26个散在单群——其中最大的一个包含大约8×1053个元素，也就是8的后面接着53个0.现在群论在理论物理学中占据着重要的地位，因为空间的变换就构成了群；在化学和晶体学中也是如此，因为在这里对称性出场了。
在一个代数问题中“求出x的值”，这对于每个受过基本教育的数学界人士来说都是非常熟悉的。这类“逆”问题是数学所擅长的领域，其应用颇为广阔。在这里，我们经常需要求一个“未知量”，但是最初我们所得到的只是一个关系或者是关于这个未知量的一个方程。比如说，已知将一个正方形的边长增加3米所得到的面积为400平方米，作为一个逆问题，我们就能够计算出最初那个区域的未知边长x。利用代数知识将方程 “展开”，即可得到x=17。当数学界的前辈们的研究成果为我们提供了一系列公式来完成这些工作时，我们也就乐得走捷径。
向太空发射火箭，就要用到“微分”方程，而这意味着“微积分”的使用，这种方法的典型应用就是速率和加速度的测定。有各种特定类型的微分方程，都有已发展成熟的理论支撑，但是也存在着很多没有精确解的“一次性”方程。庞加莱建立了微分方程理论的一个新分支，这是一种“定性”理论，它关注的是解的性质而不是如何求出具体的解。这一研究导致了“混沌”理论，从而为新的拓扑理论提出了一个截然不同的方向，彻底背离了我们看待形状的方式。
（四）新颖的和未知的数学
“拓扑学”对于只具有普通水平的非数学界人士来说可能不是那么容易理解，但是另外两个相对晚些的发展成果可能更为人所熟知：概率和统计。
数学中最出色的现代产物之一，概率理论，使我们能够用定量方式来把握不确定性。17世纪，娱乐性的数学以对赌博问题的分析为我们饿开启了这一理论，而现在，这个理论逐渐成熟并发展出严谨的微积分方法，从而成为风险分析的核心基础。统计学是与概率相关的一个领域，它为如何恰当地处理数据提供了理论，也为进一步实验提供了背景。在某种意义上讲，统计学开端于农业实验，不过今天它已应用得极为广泛，以至于任一人类活动，从政治到医学，几乎没有不用到统计学的。
对统计学及其他数学成果的运用，很自然就会使人想进行预言活动，以便了解未来。人口统计学家想要对五年内的人口数目做出合理的语言，证券交易人则试图根据统计学证据和预示性信息来预测股票市场。如何做到这一点？这些都是很困难的问题，如同预测天气一样，要依赖于至今仍无法求解的数学方程，而“蝴蝶效应”更使其难上加难。
因此，数学也有古老与新颖之分。为了避免认为已接近大功告成而只会坐享其成，我们应该随时提醒自己仍未解决的数学问题是存在的，而且数量很多。况且，若不这样做，数学便会逐渐枯萎。有一些尚未解决的大问题长年困扰着思考者们，例如哥德巴赫猜想和黎曼假设，这两个问题都是与质数有关的；不过还有一些值得注意的新问题。当然，目前已有相当进展，其中一些足以荣登头版。1994年，费马最后定理的解决使数学成为公众视野的焦点。在此之前，数学与计算机联手解决了“四色定理”问题，以及最近，一位隐居世外的俄罗斯数学家震惊了全世界，他证明了百年问题庞加莱猜想——而且他甚至不愿去领取属于自己的一百万英镑奖金。
那么，数学的意义究竟是什么？就某些方面而言这是个奇怪的问题。我们承认它们可以仅仅是活动，是思维过程和对想象力的训练，人们可以从中获得满足——人们总是沉溺于此，而且还将一直沉溺下去，因为他们必须这样做，要是有人想寻找它们的用处，就会发现它们的用处随处可见且不断激增。如果有人愿意去探索数学对于我们关于世界、宇宙、自然以及人类交往的知识所贡献的一切，那么也会得到同样的感受。在改变生活的各个方面，数学可以做到和已经做到的事情是无可估量的。但归根结底，激励数学发展的是人类最基本、足以作为其特征的品质——永不满足的好奇心。
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