中考数学压轴题分析：重叠面积问题

本文内容选自2021年吉林中考数学几何压轴题。动点产生的重叠面积，只需进行分类讨论即可。

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【中考真题】

（2021·吉林）如图，在矩形中，，．动点从点出发沿折线向终点运动，在边上以的速度运动；在边上以的速度运动，过点作线段与射线相交于点，且，连接，．设点的运动时间为，与重合部分图形的面积为．
（1）当点与点重合时，直接写出的长；
（2）当点在边上运动时，直接写出的长（用含的代数式表示）；
（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

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【分析】

（1）根据特殊角的三边关系可以求解。

（2）把点P的路程减去AB的长度即可。

（3）分为点P在AB和BC上两种情况讨论。但是当点P在AB上时，点Q有可能在DC的延长线上，因此总共分为3种情况。找出临界点，确定自变量x的取值范围，再求重叠部分的面积即可。

如图，当点Q在DC边上时，重叠部分为三角形，直接根据特殊角的三边关系，用x表示底和高即可。

如图，当点Q在DC的延长线上时，重叠部分的形状为四边形，只需把原有的三角形减去一部分即可。

当点P在BC上时，重叠部分又是一个三角形。

【答案】解：（1）如图，

在中，，，
，
．
（2）点在上运动时间为，
点在上时．
（3）当时，点在上，作于点，交于点，作于点，

同（1）可得．
，
当时，
时，点在上，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
当时，点在延长线上，交于点，如图，

，，
，
，
．
当时，点在上，如图，

，
．
综上所述，