本文内容选自2021年北京市中考数学压轴题,考查中点的证明。
证明中点可以直接证明线段相等,也可以考虑在等腰三角形中利用三线合一进行证明。
本题的难点在于角度关系的转化。
【中考真题】
(2021·北京)如图,在中,,,为的中点,点在MC上,以点为中心,将线段顺时针旋转得到线段,连接,.
比较与的大小;用等式表示线段,,之间的数量关系,并证明;
过点作的垂线,交于点,用等式表示线段与的数量关系,并证明.
【分析】
先判断数量关系,再证明。本题只需利用证明即可.
按要求作出图形,再判断结论.可以发现点为的中点.
【思路】
①连接AN,证明AN⊥DE;
②构造全等三角形,直接证明NE=ND.
【解法】
①如图,根据等角的余角相等,证明∠AMF=∠ADN,得到点A、D、M、N四点共圆,易得∠AND=∠AMD=90°,结论得证.
②如图,过点E作EF⊥AB,易得EH∥MN,根据∠ABE=∠ABC=∠ACB,得△BEH为等腰三角形,进而得到MH=MD,再根据平行线分线段成比例,得到ND=NE.
③如图,分别延长MN与BE,并交于点F,再过点E作EG∥BC,进而可以得到△BFM与△EFG为等腰三角形,由BE=DC,得到EF=EG=MD,那么再证明两个黄色的三角形全等,即△ENG≌DNM(ASA),即可得到结论.
④如图,与③类似,过点D作DG∥BF,先证明△EFM、△DMG为等腰三角形,得MB=BF,进而得到EF=DM=DG,再证明△EFN≌△DGN(ASA)即可.
⑤如图,过点E作EG∥BC,BE∥GH,易得四边形BEGH为平行四边形,只需证明CD=BE=GH=HM,进而证明EG=DM,然后还是证明△EGN≌△DMN(ASA).
这里最难的就是要证明绿色的三角形即△GHM为等腰三角形,主要还是通过角来证明。∠EBH=∠EGH=2∠ABC,所以可以得到
∠MGH=180°-∠BMG-2∠ABC
=90°-∠ABC
=∠BMG.
所以就可以得到GH=MH了.
⑥当然,如图,往外作平行四边形也是可以的。仍然是证明GE=BE比较困难。主要还是角度的代换比较麻烦.
∠GBE=180°-∠G-2∠ABC
=180°-∠ABC-(∠BMF+∠ABC)
=90°-∠ABC
=∠G.
解法多样,但都异曲同工.
【答案】
解:∵,
∴,
即,
在和中,
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