中考数学压轴题分析：中点辅助线

本文内容选自2021年河北中考数学压轴题。本题比较巧妙，利用四边形的不稳定性，根据四边形的边角关系，得到固定的三角形，进而求得边与角。是一道值得探究的问题。

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【中考真题】

（2021·黑龙江）在等腰中，，是直角三角形，，，连接、，点是的中点，连接．
（1）当，点在边上时，如图①所示，求证：；
（2）当，把绕点逆时针旋转，顶点落在边上时，如图②所示，当，点在边上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段和又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

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【分析】

（1）本题比较简单，只需根据斜边中线的性质即可得到。

如图，易得BD＝CD，因为EF＝1/2BD，所以结论得证。

（2）如图②所示时，BD与CD不相等，那么无法直接使用该方法进行证明。但是题目中的关键条件，点F为BD的中点没有改变，因此需要从中点入手。

如上图，取CD的中点T，可以得到TF为中位线，平行且等于BC的一半。而AT为CD的一半。那么可以考虑证明AT与EF相等。本题只需证明△ATF≌△EFT即可。

或者，也可以取BC的中点，如下图所示：

连接AO、OE和OF，那么可以得到△ACD∽△AOE，得到△OEF为等腰直角三角形（其中OE与CD的夹角为45°），OE＝OF＝1/2CD。

如图③，可以参考图②的方法，取AD的中点O，连接OF、OE。易得△OEF与△ADC相似，那么结论就出来了。

当然，还可以像下面这样构造：

如图，取BC的中点O，连接AO、OE、OF，得到△ACD≌△AOE，进而得到CD＝OE＝2OF（其中OE与CD的夹角为60°），再得到结论即可。

【答案】（1）证明：如图①中，

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垂直平分线段，
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（2）解：如图②中，结论：．

理由：取的中点，连接，，，交于点．
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垂直平分线段，
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，，，
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如图③中，结论：．

理由：取的中点，连接，．
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是等边三角形，
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