第四代丰田prius2017电机已经成为的业内标杆，其电机设计思想已经被广泛学习。学习的要领是“得意忘形”，对标分析只是手段和过程，目的是领会其内在设计思想，最后展开成新设计。这就是得意忘形，有了意就可以在别人的基础上继续优化，找到符合我们自己需求的最优方案。如何进一步优化，要定性更要定量。设计到了现在这个程度上，一定要精益求精。为此蜗牛请到了一位电机优化的高手，Doctor.Werther 为大家讲解一种如何快速寻找最优目标的方法：“非线性优化”。这是蜗牛为大家争取到了一项福利，现在免费公布给大家。
起步·齿槽转矩的单目标优化
为了让读者能直观的了解到什么是非线性优化，非线性优化有什么用，我们就以PriusIV电机为例，具体的来谈谈。先举一个小例子，如何在Prius的基础上进一步优化齿槽转矩。
PriusIV电机的转子辅助槽设计
优化目标1：通过在转子侧开辅助槽减小齿槽转矩
优化方法1：参数化扫描
Prius的转子采用双辅助槽设计，其设计由2组位置、开口大小、开槽深度共6个变量来决定（槽口宽），每个变量扫描4个点，那么总计算次数为4^6=4096，这个计算时间是难以接受的。这里我们参数化其中4个变量，共计算256次，可以发现prius2017原方案并不是齿槽转矩最小的方案。 还有进一步优化空间。
但如果我们想做地更细致一点，做6个参数或者更多的参数优化，就有困难，因为这种参数数化扫描就像穷举法，随着变量的增加，计算次数呈指数增加。因此有必要采用第二种优化方法。
优化方法2：非线性优化--遗传算法
针对目标1采用遗传算法进行单目标优化，下图是遗传算法的收敛过程，6个变量共计算了390次，相比线性参数化优化大大减少了优化次数，提高了效率。
下图是prius2017电机原方案的齿槽转矩与单目标优化后的齿槽转矩。
进阶·齿槽转矩和反电动势同时优化
下图是prius2017的原方案的反电势的FFT图，我们可以发现prius2017对反电势波形是做过优化的，但我们还可以像优化齿槽转矩一样进一步优化。但这里我们会担心一个问题，在优化反电动势时会不会恶化的齿槽转矩？为了解决这个问题，这就需要上更高级的优化方法：多目标优化。
优化目标2：通过在转子侧开辅助槽减小齿槽转矩同时优化反电动势的正弦性
优化方法3：非线性优化，这里我们采用遗传算法对目标2进行多目标优化。
下图是遗传算法的收敛过程，6个变量共计算了460次。
下图是优化结果的散点图，横坐标是齿槽转矩大小，纵坐标是反电动势谐波畸变率的大小。那么显然图片的左下角是反电动势和谐波畸变率都小的区域，如图红色的线就是我们的菜。
为了进一步理解，下图是非线性优化得到的齿槽转矩的对比图、反电势谐波含量的对比图。
齿槽转矩
转矩峰峰值(mN)
反电势THD
原prius2017
256
0.1422
单目标优化
51
0.1695
多目标优化
84
0.1574
从上面图表中的数据，可以发现单目标优化得到的齿槽转矩只有原方案的20%；
多目标优化得到齿槽转矩为原方案的32.8%并兼顾了一定的反电势的正弦性。
通过上述实例可以说明，非线性优化可以在比较少的计算次数下，获得比较理想的优化结果。现在我们有理由相信，采用非线性优化的目的就是：在可以接受的时间内获得最优解。
背后的理论：什么是非线性优化？
非线性优化是研究目标函数的最优化问题，其中目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数。（非线性优化也称为非线性规划，这里规划与优化基本是一个概念）
其实，在中学时期我们就已经开始求解非线性优化问题了。
比如求解y=50x-x^3的最小值。
也就是说，非线性优化问题是针对一个非线性函数求最值的问题。
求解方法也很简单，就是对函数求导，再令导数为零，我们就找到了极值点。将所有极值点的值以及边界点的值都带回方程进行比较，找到整个函数上的最小值。约束条件定义了x的取值范围，即可行域。
对于一个变量的一维问题，无论这个函数多么复杂，都可以画在一个二维坐标中。我们可以通过求导等解析方法精确的求出所有极值，但是上升到二维以上的问题之后，很遗憾，大多数情况下解析法是无能为力的。
虽然我们不能直接找到导数值为零的点，但是非线性函数常常是可微的，也就可以计算出每一点的微分。也就是说，既然不能直接找到极值点，我们就一步一步的逐渐逼近函数的极值点。
由这种步步逼近的思想，人们提出了很多非线性优化的算法，这些算法本质上都是采用数值计算迭代方法，如拟牛顿法和最速下降法。但这些算法存在的最大问题就是，他们只能确定求得了极小值点（局部最优解）而不能确定该点否是最小值（全局最优解）。
于是，为了更好的寻找全局最优解，人们从自然的哲学中寻找灵感，在自然规律的启发下提出了遗传算法、粒子群算法等启发式算法。而启发式算法只能说更有可能寻找到全局最优解，可以说是一种没有办法的办法。所以，如何寻找全局最优解，至今仍然存在很大的挑战。
工具·基于Maxwell的非线性优化
Optimetrics中的Optimization是Maxwell提供的非线性优化工具，可以将几何参数，材料，激励等设计参数作为变量。Optimization将这些变量组成一个列向量x。用户需要设置每个变量的取值范围，以及目标函数即f(x)。然后选择一种算法，算法会根据其本身定义的某种规则不断改变变量的值进行迭代计算，寻找用户定义的目标函数最小值，直到达到某种停止标准。
优化器需要设置的通用选项：待优化变量及其取值范围(Variables)，最大的迭代次数(Max. No. of Iterations)，目标函数(Cost Function)，迭代停止的目标函数值(Acceptable Cost)，数字噪音(Noise)，线性约束条件(Linear Constraint)，以及高级选项(Advanced Option)。
Optimization提供了6种优化器：
顺序非线性优化（SNLP）
顺序混合整数非线性优化（SMINLP）
拟牛顿法（Quasi Newton）
模式搜索法（Pattern Search）
遗传算法（GA）
Matlab优化器
Optimization里的目标函数叫做Cost Function，这也很好理解，成本函数，求解器默认求解成本函数的最小值。如果我们的目的是求最大值，则成本函数会自动取负号。
对于上述6种优化器，优化过程中每次迭代可能包括多次目标函数的计算，这取决于优化的变量数量和目标函数的非线性程度。对于启发式算法，则没有迭代次数，只显示目标函数计算次数。
下图为拟牛顿法进行优化时的收敛曲线。实际上，电机的数学模型并不算复杂，目标函数通常都是可微的凸函数，所以我们采用基于梯度的算法会更快更准确的得到最优解。
当变量变多，无法确定目标函数的类型，或者基于梯度的算法无法取得较好的结果时，可以尝试启发式算法。下图为采用遗传算法进行优化时的收敛曲线。遗传算法种群如果有50个个体，则一个世代需要50次有限元计算，收敛可能需要进化10代以上，计算时间很长。
操作：基于Maxwell的单目标优化
要进行非线性优化，首先我们需要将基于Maxwell的有限元计算，转化为目标函数，输入变量就是几何尺寸，材料属性，激励等参数，输出的计算结果就是转矩，反电势等。还是以Prius为例：
例如我们选择齿槽转矩作为优化变量，构建的目标函数可以是：
转矩峰峰值=f(几何参数，材料属性，激励等)
输入变量和约束条件的设置
只有勾选的参数才会作为优化变量，并出现在Optimization的变量设置界面。
在Optimization的变量设置界面设置变量的初始值和取值范围。
合理设置约束条件，可以减小可行域的范围，避免算法搜索一些没有意义的点，减少优化时间。例如，我们希望优化过程中槽口小于槽宽的二分之一时，就可以用到线性不等式约束：Bs0<0.5*Bs1
另外，约束条件还可以通过罚函数的形式整合到目标函数中，将一个有约束的最优化问题转化为无约束问题。
最大的迭代次数(Max. No. of Iterations)：最大的计算次数。
迭代停止的目标函数值(Acceptable Cost)：达到该值时，迭代停止。求解目标函数最小值时，设为0即可，求解最大值时，设为负值。
多目标优化
从引文的实例中可以发现，若想得到更优的方案，单目标优化是不足够的。对于电机这个非线性强耦合的数学模型，各个指标均达到最优是不可能的，我们只能选择其中几个最关心的作为主要指标来进行多目标优化。
关于多目标优化的详细讲解将在进阶篇中展开。
总结
优化算法只是一种方法，一种替代穷举法(参数化扫描)的高效方法。有效利用优化算法，首先需要明确目标，根据主要优化指标来决定采用单目标优化还是多目标优化，构建目标函数和约束条件，变量较少时采用基于梯度的算法大多数情况是足以解决问题的，变量较多且基于梯度的算法无法取得较好的结果时，尝试启发式算法。
好了正文看完了，如果还不过瘾，想更多的了解Prius等电机的设计细节和优化方法，不如正弦性优化、转矩脉动优化等等，可以移步我在荔枝上开设的视频课程：”先进产品对标分析“，课纲和链接如下，现在Prius的内容已经更新完毕。正在准备I-mmd电机的内容。
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