上一期中Doctor.Werther 为大家讲解一种如何快速寻找最优目标的方法：“非线性优化”，大家非常感兴趣。在案例中我们优化了Prius齿槽转矩，但实际设计过程中，我们面临的问题将会更复杂，既要优化齿槽转矩，又要优化转矩脉动，既要优化损耗又要优化电磁力，经常压起了这头，浮起了那头。这是一个多目标优化需要复杂技巧的平衡问题。如何提高平衡能力？即需要设计经验，也需要工具支持。因此这一期我们继续深入，探讨一个更有意义的话题：“多目标优化技术助力平衡设计 ”。下面请Doctor.Werther为大家详细讲解：
多目标优化是什么？
实际的电机优化问题往往难以用一个目标来衡量，需要一个以上相互影响，甚至相互冲突的指标来衡量，这时就需要进行多目标优化。
实际问题中，多个目标同时达到最优，即多目标问题的绝对最优解几乎不存在。这就像，想要马儿跑，又想马儿不吃草是不可能的。
因此，有必要给出其他的“解”的定义：Pareto最优解。
例如，以反电势和齿槽转矩为优化目标时，我们希望反电势尽量高、齿槽转矩尽量小。优化结果的分布图如下，蓝色实线称为Pareto前沿，实线上的点称为Pareto最优解。也就是说，Pareto最优解是一组解，这组解之间无法评判孰优孰劣。就像草原上万马奔腾，我们要从中选一匹马，目标1是吃的草少，目标2是跑的距离远，有的马是吃5斤草跑的最远的，有的是吃10斤草跑的最远的，这些马都是好马，是所有马中最优秀的一组。
对于2个目标的问题，其Pareto前沿通常是条曲线，
而对于3个目标，其Pareto前沿通常是一个曲面。
求出Pareto最优解后并没有结束，我们需要人为的从中选择一个作为最终解。有了这个Pareto 图，我们至少解决了一个问题，那就是找出来一组三个或两个优化目标都能兼顾的解，给三目标平衡给出了定量的数据支撑。当然对于电机优化问题，这远远不够，因为需要考虑远超过三个目标的问题，如成本、工艺性等等。但我们至少往前走了一步，对经验的依赖降低了，走了一步后还能走第二步，第三步，将一个复杂的问题分阶段实施。下面我们通过Prius2017的实例来感受一下这个过程。
实例优化
下面继续以prius2017为例来进行多目标非线性优化设计，以提供一些多目标优化的思路，这里我们分两次进行多目标优化以降低转矩脉动。
优化变量的选取
变量越多，非线性优化的效率与效果越差，所以我们要尽可能减少变量个数。通过参数化扫描、理论分析等手段确定转矩脉动对其敏感的参数，主要选取这些敏感参数作为优化变量。
目标函数的设置
目标函数应尽量少，分清主次，选取主要考察的指标作为目标函数，目标函数越多，对优化结果的决策越困难。
第一次优化
优化变量：一字型磁钢极弧系数，V字型磁钢极弧系数，V字型磁钢夹角
优化目标：转矩脉动，反电势正弦性，反电势5.7.11.13次谐波幅值
转矩脉动、气隙磁密波形，反电势波形等指标均对极弧系数较为敏感，所以我们先选取一字型磁钢极弧系数，V字型磁钢极弧系数，V字型磁钢夹角，这三个参数作为优化变量。
有的时候，过分追求正弦性，会导致基波幅值降低、漏磁增加等影响。如果我们只需要削弱特定次谐波，或者有控制器侧注入谐波等手段我们不太在意正弦性，这时可以以特定次谐波作为优化目标。这里，我们以转矩脉动，反电势正弦性作为主要目标作为寻优方向，以与转矩脉动相关的5.7.11.13次谐波幅值作为辅助目标以引导反电势正弦性的寻优方向。
下图是采用遗传算法进行非线性优化的收敛过程。
优化结果分析
对于5.7.11.13次谐波幅值，相反电势与线反电势是正相关的关系，所以这里我们只看相反电势的5.7.11.13次谐波。
下图是转矩脉动与相反电势的5.7.11.13次谐波幅值和的分布图，以及prius原方案的位置，优选方案是优化结果中转矩脉动低于原方案的一组方案。原方案的转矩脉动为10.67%，优选方案中转矩脉动最小为9.7%。
下图是转矩脉动与相反电势THD、线反电势THD的分布图，以及prius原方案的位置。
从上面4幅图可以发现的是：
1、反电势的5.7次谐波幅值和、11.13次谐波幅值和、反电势THD均与转矩脉动存在“矛盾”的关系，继续降低转矩脉动会使得反电势5.7.11.13次谐波增加、正弦性下降；
2、对于极弧系数有关的这三个参数，prius2017原方案基本都是选择在Pareto前沿，是平衡转矩脉动和反电势波形的最佳点；
3、只调整极弧系数存在局限，转矩脉动可降低的空间小。
下面几幅图是转矩脉动与气隙磁密谐波、气隙磁密THD以及铁耗的分布图，从图中可以发现：相对于转矩脉动与反电势，气隙磁密与铁耗仍有一定的改善空间，但此时继续改善磁密波形与铁耗必然意味着反电势正弦性的降低。
Maxwell目前还无法同时将转矩脉动与齿槽转矩作为目标，所以我们还需对齿槽转矩进行核算。
下图为优化结果中转矩脉动与齿槽转矩的分布图，从中可以发现：如果不考虑其他性能指标的降低，齿槽转矩还有一定的下降空间。
第二次优化
优化变量：决定2个辅助槽形状位置相关的6个参数（2×槽口宽、高、位置角度）
优化目标：转矩脉动，气隙磁密5.7.11.13次谐波幅值
从上面的工作中，我们得到一组转矩脉动和正弦性皆优的方案，但我们对其转矩脉动并不满意，我们需要在此基础上继续尝试优化。
一字型磁钢极弧系数，V字型磁钢极弧系数，V字型磁钢夹角，这三个参数是决定气隙磁密波形，反电势波形轮廓的主要参数。从上面的分析中我们可知， 如果我们想继续优化转矩脉动，只优化这三个参数，转矩脉动继续下降的空间有限。
下图是prius2017转子开辅助槽后对气隙磁密的影响，可见辅助槽对气隙磁密谐波的影响较大。所以这里我们可以针对性的选择不同谐波次数气隙磁密成分作为目标函数。当然选取不同的目标函数，可能会有不同的结果，毕竟我们是在有限的时间内搜索6维的变量空间，另外优化算法的不同，算法在局部最优点的收敛等都会影响最终结果。
所以，为了继续降低转矩脉动，我们选取决定辅助槽形状位置的6个参数作为优化变量。以转矩脉动、气隙磁密5.7次谐波幅值和、气隙磁密11.13次谐波幅值作为优化目标进行多目标优化。
优化结果分析
下面几幅图是转矩脉动与相反电势的5.7.11.13次谐波幅值和，相反电势THD、线反电势THD，气隙磁密谐波、气隙磁密THD以及铁耗的分布图，以及prius原方案的位置，优选方案是优化结果中转矩脉动低于原方案的一组方案。原方案转矩脉动10.67%，优选方案中转矩脉动最小为6.5%。
从图中可以发现：相较于第一次优化，除了气隙磁密THD，其他指标均有了更多的优化空间。
下图为优化结果中转矩脉动与齿槽转矩的分布图，从中可以发现：虽然第二次优化较第一次优化转矩脉动下降较多，但第二次优化的优选方案中大部分齿槽转矩都较大，不过我们仍然有较多的空间去得到更低的转矩脉动和齿槽转矩。
我们先将转矩脉动、齿槽转矩低于原方案的方案选出来，并优先选取Pareto前沿上的方案，然后根据其他性能指标权衡选取最终方案。
下表是我们最终得到的优化方案与原方案的对比：
优化结果对比 | 最终方案 | 原方案 |
相反电势THD | 0.16274 | 0.16549 |
5.7次谐波幅值 | 10.99115 | 10.14875 |
11.13次谐波幅值 | 64.59221 | 66.06321 |
线反电势THD | 0.12998 | 0.12670 |
气隙磁密THD | 0.32331 | 0.30364 |
5.7次谐波幅值和 | 0.01572 | 0.0113 |
11.13次谐波幅值和 | 0.08339 | 0.08564 |
转矩脉动 | 7.978% | 10.67% |
齿槽转矩/mN | 140.79 | 179 |
铁耗 | 486.6 | 491.96 |
通过两次多目标优化，从优化的结果来看，反电势和气隙磁密11.13次谐波幅值降低，虽然5.7次谐波幅值增大，但我们最关注的转矩脉动较prius2017原方案下降了25%，齿槽转矩下降21.3%，同时保证了反电势正弦性基本不变。
电磁力的优化
现在电机面临越来越苛刻的NVH要求，因此有必要针对电磁力进行优化。下面我们以Prius2017为例，介绍下电磁力的优化过程。
优化变量：一字型磁钢极弧系数，V字型磁钢极弧系数，V字型磁钢夹角
优化目标：转矩脉动，气隙磁密正弦性，空间0阶8阶电磁力
因为我们不清楚prius2017的NVH问题，对电磁力的优化没有什么目的性。这里只是简单的以空间0阶与8阶电磁力幅值为目标函数。
优化结果分析
下面几幅图是转矩脉动与空间0阶8阶电磁力幅值的分布图，以及prius原方案的位置，优选方案是优化结果中转矩脉动低于原方案的一组方案。原方案转矩脉动10.67%，优选方案中转矩脉动最小为9.6%。
下面几幅图是空间0阶8阶电磁力与气隙磁密5.7.11.13次谐波幅值和、气隙磁密THD的分布图。
从上面几幅图可以发现：空间0阶8阶电磁力幅值还有较大的改善空间。
总结：
把所有与目标函数有关的、无关的变量一股脑的进行优化，通常效果不佳。从优化的结果可以分析出一些规律与趋势，以进行目标函数、变量、算法参数的调整，使得下一次优化会更具有针对性，也更容易得到更好的结果。非线性优化方法并不能”一步到位“，说了这么多我们也只是对一个工作点进行了优化，如何权衡其他工作点，进行多个工作点的多目标优化，这又是一个新的征程。
好了，正文完成了，感谢Doctor.Werther的工作。实际电机设计中我们将面临越来越多的优化目标，平衡的难度将指数级上升。到今时今日，至少我们都认识到了如下几点关键：
纯靠手动计算迭代的方式已经无法适应高性能电机的设计要求；
需要将倒逼设计技术设计理念不断升级， 先进的设计方法将形成代差优势；
参数化、单目标自动优化、多目标自动优化虽然不能完全解决问题，但至少往前走了小步，革命尚未成功，同志们仍需努力。
想更多的了解Prius等电机的设计细节和优化方法，比如正弦性优化、转矩脉动优化等等，可以移步我在荔枝上开设的视频课程：”先进产品对标分析“，课纲和链接如下，现在Prius的内容已经更新完毕， I-mmd电机设计内容也以更新。
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