怎么跟孩子讲退位减法,似乎是一个老大难的问题,也许对于有些小朋友很容易,但也不能忽视的确有很大一部分孩子搞不清怎么退位,由此引发各种错误。
大家可能听说过这样的笑话,老师让学生“向十位借一”,学生说:“十位不肯借怎么办?”,老师语塞
恰好上周班级里有位数学老师提供了一则视频,视频里的专家很风趣地说:
这个比喻很通俗易懂,成人肯定能听懂,尤其他解释了,不是简单放过去,而是捆好了盒子装好了放过去。
并且视频中有一句话很关键:“数学是依据这样的规则来的。”
数学的确是讲究规则的,而且这里头的规则一个接一个,只是我们希望孩子能理解最底层的规则,由此规则我们可以推演到其他规则,而不是记住一个又一个的规则。
上面这位专家的解释,他用了“拿”这个词,来代替“借”,也就是说避开了一开头的问题“不肯借怎么办”,而是通过一套规则来试图告诉孩子“我不是来借的,我是来拿的”,我来拿是有道理的,你不能拒绝我。
我觉得这个故事本身还不错,如果稍加雕琢语句(比如我们需要强调,每个盒子都必须装10个,运送到十位上去,变成1盒),那应该是不错的讲解。
今天我想从推动孩子抽象思维发展的角度去讲这件事,补充讲一些老师可能在课堂上没有讲透的东西。
是什么呢?
是秩序的问题。
这里的秩序,你可以理解为规则,以及结构。即便你不用“秩序”这个词,你也要想办法给孩子传递一种思想:
我们培养孩子数学思维,从小学启蒙的角度讲,任重而道远的事是务必在这5-6年里,让孩子的思维能够胜任形式运算阶段的任务,能够进行清晰而纯粹的抽象思考。
减法退位其实是其中相当关键的一个环节,它让孩子初次体会到了数的结构里所蕴含的秩序,也是他们理解十进制的关键。
我们要先从进位说起,个位是如何进位到十位的?因为个位最多只能有9,当再多1时,我们就需要把这个1连同前面的9一起“打包”,转换到十位上,前面专家的比喻“盒子”,能够让低年级孩子比较形象地去感受集合的概念,在十位上的“1”,代表的是一盒,一盒里面有“10”,所以称为“一个10”。
如果转换到实物操作上,我建议家长使用硬币或其他实物排排队,一排放十个后,换行,此时我们描述的是一“排”,而不是十“个”,如果硬币数量是一排零七个,那么就是17;如果是三排零五个,那么就是35,因为一“排”对应10,三“排”就对应3个10,30。
你当然还可以用不同颜色的瓶盖堆叠,或者不同颜色的积木堆叠来体现这种计数的方式。
这些方式都有助于孩子理解“进位”,但是仅仅这样是不够的,因为孩子在某一刻能捕捉到的信息有限,他们并不会自动逆转去对应退位,尤其是他们可能仅仅记住了“满十进一”这个表面道理,但没有理解里面的结构是“层级式”递进的,同时这意味着需要层级地来退。
因此这里我们必须使用“退”这个词,而不是“借”或“拿”这样的不能体现秩序的主观上的词。我认为在教学里,是尤其需要强调“退”与“进”是相对的。
既然我们不能从个位直接进到百位,那么自然也不能从百位直接退到个位。就如同前面这张图一样,我们的秩序是,一排十个,因此不可能一下子到一百,只能1个10,2个10,3个10......这样进上去,直到变成10个10,就变成了100。
要让孩子继续理解这种层级结构,我们必须还引入更多的方式,其中之一是画类包含图,比如我特别强调的“层级结构图”,最常用的一个例子就是把年月日用层级的方框来表示,7天形成1周,4周形成1月(只是假设了4周1个月),12个月形成了1年,因此你看,我们可以通过增加一个又一个方框来体现层级结构。
我建议家长或老师为了让孩子深刻理解,“退”只能一个层级一个层级退,不能直接百位退到个位,我们可以进行这样一个动态操作的过程:
第一种方法:画图(见下图)
第二种方法:实物操作
以上两种方法都做一遍,然后你再回到减法算式上去教退位,孩子对“退位”对理解会更加深刻,如果你觉得完全没有必要那么麻烦,太繁琐了,口头讲讲不就可以了么?那么有可能你就会遇到学生会这样计算:
现在你就可以解释,十位没有的时候,我们需要从百位退,但是百位只能先退到十位,因此退出来的其实是10个10,这10个10里面,我们需要再做一次退位的动作,把1个10退出来,变成10个1给个位就可以了;这样就相当于百位的“1”拆分成了两个部分,一个部分是直接退位十位的“9”——90,另一个部分是通过十位退给个位的10,它们共同组成了100。
也许有的人认为,这只是孩子刷题不够多,还不够熟练,做多了,就记住了。
不过如果我们的目标仅仅是让孩子能够操作三位数运算,多刷题可能就是捷径之一,熟能生巧么。
但是学数学的目标仅仅是这个吗?孩子头脑中如果没有建立好“层级结构”的概念,那么对于他们数学思维的提升又有何益处呢?
如果我们可以用40分钟,1个小时来把一个底层的逻辑讲清楚,让孩子通过自己的参与,操作,讨论来理解这个底层逻辑,我们为何不这么做呢?即便在这个基础上再进行一定程度的练习,也比你没有讲清楚,囫囵吞枣,马上就开启刷题模式要好。
很多人会觉得学习数学没什么用,现在都有计算器了,电脑了,大部分人要应付简单的生活计算也没什么问题,为何要学那么长时间数学呢?
我个人认为孩子通过小学数学能够习得的最有用的一件事就是:思维从扁平化向结构化方向发展,你可以认为是越来越具有逻辑结构了,而这件事则会让一个人受益无穷,不仅仅是理解数学,孩子未来不需要成为数学家,科学家,他们可能只是普通人,或者有一份比较满意的工作,不管如何,一个有逻辑结构的人,学习任何事物都会更容易一些,思考问题也会更有层次,更清晰。
让我们回到减法退位,如果我们的用词能够与我们的教学(操作)更精准地匹配起来,那么也就能减少孩子的误解,减少他们退到主观臆断的层面上去跟你进行不必要的辩论。
数学的教学,不仅仅是我们要说服孩子,辩论上占上风,更重要的是我们需要引领孩子用数学的方式思考问题,仅仅让孩子“无力反驳”是不够的,我们可能可以通过“数学并不是讲道德水平高低的”来说服一个大学生毕业生教师,但我们用同样的方式去教孩子,其实并不能起到推动抽象思维发展的目的,我们需要通过各种方式,让孩子能够透过现象看本质,能够通过你所呈现的关系,你想让他们聚焦的关系,来理解数学的结构,遵循这一结构去思考才是学习这门学科的方式。
马立平博士在上面这本书中对比了中美数学教育中的一些实操细节,其中这段文字讲述的就是一名三年级教师的反思。
我在很多年前看到这段文字的时候就心有戚戚,这段文字不仅指出了“借”这个词引发的一系列“后遗症”,其实也透露了一点——这可能是我的忧虑——滥用“比喻”来教数学的后果。
数学是一个抽象世界,你几乎可以认为儿童学习数学,是他们第一次接触到一个完全不同的世界,我们的目标是让孩子能够用这个世界的思维方式来行事,而不是仅仅知道这个世界。
如果我们用主观世界的方式去比喻数学,虽然可能在一开始你会觉得比较容易说服儿童,但是很快你会发现他们的思维依然陷在现实主观世界里,无法抽提出来。
这是很可怕的,也是我研究了那么多年儿童的错误,家长辅导中的困扰,最后得出的一个结论:那些数学没有学好的孩子,是因为没有走对路。
他们被引向了一条歧路,于是越走越远。
联系客服