怎么跟孩子讲退位减法，似乎是一个老大难的问题，也许对于有些小朋友很容易，但也不能忽视的确有很大一部分孩子搞不清怎么退位，由此引发各种错误。
大家可能听说过这样的笑话，老师让学生“向十位借一”，学生说：“十位不肯借怎么办？”，老师语塞
恰好上周班级里有位数学老师提供了一则视频，视频里的专家很风趣地说：
这个比喻很通俗易懂，成人肯定能听懂，尤其他解释了，不是简单放过去，而是捆好了盒子装好了放过去。
并且视频中有一句话很关键：“数学是依据这样的规则来的。”
数学的确是讲究规则的，而且这里头的规则一个接一个，只是我们希望孩子能理解最底层的规则，由此规则我们可以推演到其他规则，而不是记住一个又一个的规则。
上面这位专家的解释，他用了“拿”这个词，来代替“借”，也就是说避开了一开头的问题“不肯借怎么办”，而是通过一套规则来试图告诉孩子“我不是来借的，我是来拿的”，我来拿是有道理的，你不能拒绝我。
我觉得这个故事本身还不错，如果稍加雕琢语句（比如我们需要强调，每个盒子都必须装10个，运送到十位上去，变成1盒），那应该是不错的讲解。
今天我想从推动孩子抽象思维发展的角度去讲这件事，补充讲一些老师可能在课堂上没有讲透的东西。
是什么呢？
是秩序的问题。
这里的秩序，你可以理解为规则，以及结构。即便你不用“秩序”这个词，你也要想办法给孩子传递一种思想：
我们培养孩子数学思维，从小学启蒙的角度讲，任重而道远的事是务必在这5-6年里，让孩子的思维能够胜任形式运算阶段的任务，能够进行清晰而纯粹的抽象思考。
减法退位其实是其中相当关键的一个环节，它让孩子初次体会到了数的结构里所蕴含的秩序，也是他们理解十进制的关键。
我们要先从进位说起，个位是如何进位到十位的？因为个位最多只能有9，当再多1时，我们就需要把这个1连同前面的9一起“打包”，转换到十位上，前面专家的比喻“盒子”，能够让低年级孩子比较形象地去感受集合的概念，在十位上的“1”，代表的是一盒，一盒里面有“10”，所以称为“一个10”。
如果转换到实物操作上，我建议家长使用硬币或其他实物排排队，一排放十个后，换行，此时我们描述的是一“排”，而不是十“个”，如果硬币数量是一排零七个，那么就是17；如果是三排零五个，那么就是35，因为一“排”对应10，三“排”就对应3个10，30。
你当然还可以用不同颜色的瓶盖堆叠，或者不同颜色的积木堆叠来体现这种计数的方式。
这些方式都有助于孩子理解“进位”，但是仅仅这样是不够的，因为孩子在某一刻能捕捉到的信息有限，他们并不会自动逆转去对应退位，尤其是他们可能仅仅记住了“满十进一”这个表面道理，但没有理解里面的结构是“层级式”递进的，同时这意味着需要层级地来退。
因此这里我们必须使用“退”这个词，而不是“借”或“拿”这样的不能体现秩序的主观上的词。我认为在教学里，是尤其需要强调“退”与“进”是相对的。
既然我们不能从个位直接进到百位，那么自然也不能从百位直接退到个位。就如同前面这张图一样，我们的秩序是，一排十个，因此不可能一下子到一百，只能1个10，2个10，3个10......这样进上去，直到变成10个10，就变成了100。
要让孩子继续理解这种层级结构，我们必须还引入更多的方式，其中之一是画类包含图，比如我特别强调的“层级结构图”，最常用的一个例子就是把年月日用层级的方框来表示，7天形成1周，4周形成1月（只是假设了4周1个月），12个月形成了1年，因此你看，我们可以通过增加一个又一个方框来体现层级结构。
我建议家长或老师为了让孩子深刻理解，“退”只能一个层级一个层级退，不能直接百位退到个位，我们可以进行这样一个动态操作的过程：
第一种方法：画图（见下图）
第二种方法：实物操作
以上两种方法都做一遍，然后你再回到减法算式上去教退位，孩子对“退位”对理解会更加深刻，如果你觉得完全没有必要那么麻烦，太繁琐了，口头讲讲不就可以了么？那么有可能你就会遇到学生会这样计算：
现在你就可以解释，十位没有的时候，我们需要从百位退，但是百位只能先退到十位，因此退出来的其实是10个10，这10个10里面，我们需要再做一次退位的动作，把1个10退出来，变成10个1给个位就可以了；这样就相当于百位的“1”拆分成了两个部分，一个部分是直接退位十位的“9”——90，另一个部分是通过十位退给个位的10，它们共同组成了100。
也许有的人认为，这只是孩子刷题不够多，还不够熟练，做多了，就记住了。
不过如果我们的目标仅仅是让孩子能够操作三位数运算，多刷题可能就是捷径之一，熟能生巧么。
但是学数学的目标仅仅是这个吗？孩子头脑中如果没有建立好“层级结构”的概念，那么对于他们数学思维的提升又有何益处呢？
如果我们可以用40分钟，1个小时来把一个底层的逻辑讲清楚，让孩子通过自己的参与，操作，讨论来理解这个底层逻辑，我们为何不这么做呢？即便在这个基础上再进行一定程度的练习，也比你没有讲清楚，囫囵吞枣，马上就开启刷题模式要好。
很多人会觉得学习数学没什么用，现在都有计算器了，电脑了，大部分人要应付简单的生活计算也没什么问题，为何要学那么长时间数学呢？
我个人认为孩子通过小学数学能够习得的最有用的一件事就是：思维从扁平化向结构化方向发展，你可以认为是越来越具有逻辑结构了，而这件事则会让一个人受益无穷，不仅仅是理解数学，孩子未来不需要成为数学家，科学家，他们可能只是普通人，或者有一份比较满意的工作，不管如何，一个有逻辑结构的人，学习任何事物都会更容易一些，思考问题也会更有层次，更清晰。
让我们回到减法退位，如果我们的用词能够与我们的教学（操作）更精准地匹配起来，那么也就能减少孩子的误解，减少他们退到主观臆断的层面上去跟你进行不必要的辩论。
数学的教学，不仅仅是我们要说服孩子，辩论上占上风，更重要的是我们需要引领孩子用数学的方式思考问题，仅仅让孩子“无力反驳”是不够的，我们可能可以通过“数学并不是讲道德水平高低的”来说服一个大学生毕业生教师，但我们用同样的方式去教孩子，其实并不能起到推动抽象思维发展的目的，我们需要通过各种方式，让孩子能够透过现象看本质，能够通过你所呈现的关系，你想让他们聚焦的关系，来理解数学的结构，遵循这一结构去思考才是学习这门学科的方式。
马立平博士在上面这本书中对比了中美数学教育中的一些实操细节，其中这段文字讲述的就是一名三年级教师的反思。
我在很多年前看到这段文字的时候就心有戚戚，这段文字不仅指出了“借”这个词引发的一系列“后遗症”，其实也透露了一点——这可能是我的忧虑——滥用“比喻”来教数学的后果。
数学是一个抽象世界，你几乎可以认为儿童学习数学，是他们第一次接触到一个完全不同的世界，我们的目标是让孩子能够用这个世界的思维方式来行事，而不是仅仅知道这个世界。
如果我们用主观世界的方式去比喻数学，虽然可能在一开始你会觉得比较容易说服儿童，但是很快你会发现他们的思维依然陷在现实主观世界里，无法抽提出来。
这是很可怕的，也是我研究了那么多年儿童的错误，家长辅导中的困扰，最后得出的一个结论：那些数学没有学好的孩子，是因为没有走对路。
他们被引向了一条歧路，于是越走越远。
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