极点极线的定义： 已知圆锥曲线 ，一点 ，直线 ，则 为 关于 的极线，为 关于 的极点．
调和点列的定义： 若直线 上四个点 满足 ，则 是一组调和点列．
调和线束的定义： 四条直线 相交于一点，记直线 的夹角为 ，若 ，则 是一簇调和线束．
无穷远点的定义： 每条直线上有且只有一个无穷远点，并被无穷远点连接成为封闭曲线；所有相互平行的直线相交于一个无穷远点，无穷远点代表直线的方向．
因此，当且仅当 为 中点时， 调和，其中 是 （方向）上的无穷远点．
注：引入无穷远点把直线的相交和平行关系进行了统一，从而能避免直线平行情况的单独讨论．
性质1：（切线） 当 在圆锥曲线 上，则 关于 的极线即为 在 处的切线．
证明：
以椭圆为例，即
设 ，则其极线 ，
由 在 上，有
故
即
与 联立得
则 是唯一的解，故 切 于 .
性质2：（配极原理） 关于圆锥曲线 ，若 在 的极线上，则 在 的极线上，并称 关于 调和共轭．
证明：
以椭圆为例，
设 ，
则 的极线为
的极线为
若 在 的极线上，则
若 在 的极线上，则
二者等价，即 的极线 的极线
性质3：（切点弦） 过圆锥曲线 外的一点 作 切 于两点 ，则 为 关于 的极线．
证明：
由性质1， 为 的极线，即 在 的极线上，由性质2， 在 的极线上；同理， 在 的极线上，两点确定一条直线，故 为 的极线．
性质4：（调和点列与调和线束的转换） 若直线上有四个点 ，直线外有一点 ，则 调和 调和．
证明：
由正弦定理，，
两式相除得 ，
同理
故 调和 PA,PC;PB,PD$ 调和．
性质5（极点极线与调和点列的转换） 点 关于圆锥曲线 的极线为 ，过点 任作一割线交 于 两点，交 于点 ，则 是调和点列，且 关于 调和共轭．
证明：
以椭圆为例，
若 是调和点列，
设 ，，则
，
由 有，
得：
得
进而可以得到一个结论，
结论1（圆锥曲线内接四边形对边或对角线交点的调和共轭）： 若 在圆锥曲线 上，，，则 调和共轭．
证明：
在 上取异于点 的 使得 调和，由性质5有 在 的极线上．
设 ，由 调和，有 调和，故 在 的极线上．
于是 为 的极线，而 ，故 在 的极线，而 ，故 在 的极线上，即 调和共轭．
性质6（自极三角形） 四边形 内接于圆锥曲线 ， 、 、，则 为 R 的极线， 为 的极线， 为 的极线，并称 是自极三角形．
证明：
由结论1 ， 的极线，故 为 的极线，同理 为 的极线， 为 的极线．
性质7（平行线被调和线束平分） 若 是调和线束， 交 于 ，则 为 中点．
证明：
设线束交于 ，则
故
特殊地，当 在 的中垂线时，则有 平分 ， 因此可以将调和线束的定义 特殊化：
性质8（对称调和线束） 若 与 关于 对称，也关于 对称，则 是调和线束．
证明：
由对称可得：，
则
因此 是调和线束．
注： 此性质与阿波罗尼斯圆有着紧密的联系，满足到定点的距离之比为定值 () 的点 的轨迹是圆，圆的直径交 于 ，则 是调和点列， 是性质8 中的对称调和线束
当 时， 的轨迹是以 为直径的圆，即 的垂直平分线．
性质8（调和点列的幂线段关系） 若 是调和点列， 为 中点，则 ，
证明： 借助阿波罗尼斯圆证明，
以 为直径作圆．
若 在圆外，过 作 的垂线交圆于 ，由性质5知 为 的极线，有 ，．
故 ，
若 在圆内，过 作 的垂线交圆于 ， 则 为 的极线，， ，同上可证．
性质10（调和点列的调和线段关系） 顺次的排列，若 是调和点列，则 ，
证明：
（1）
（2）
（3）
注：调和指 次幂，调和点列的命名与“调和线段关系”有关．
【典例1】（2023全国乙卷） 已知椭圆 的离心率是，点 在 上． （1）求 的方程；（2）过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点．
解析：
（1）
（2）
【分析】如图，由上述性质3 知，点 关于椭圆 的极线恰为 ，
图
由上述性质5 知， 四点为调和点列，
由上述性质4 知， 为调和线束，
由于 轴// ，则由上述性质7 可得： 轴截调和线束 于 ，则为 的中点.
【详解】略
【典例2】（2022年全国乙卷） 椭圆 上有两点 ，，过 的直线交 于 两点，过 作平行于 轴的直线交线段 于 ，点满足 ，证明： 过定点．
证明：
【分析】记， 的极线为 ， 调和， 调和，， 为 中点， ， 过定点
【详解】在线段 上取 使得 ，设其为 ，即，
设 ，，有
则
又 ，有
而，故 ，即 为 与 的交点．
设 ，则
即
故 与重合，即 过定点
解析：
【分析】 交 轴于 ，与 的交点在 的极线 上，设 ，
【详解】设过 的直线 与 相交于两点
， 与 联立得 ，
有，即
设 ，，，，有 ，
则
当且仅当 时取等．
由 知 与 轴交于 ，故此时 ， 即
【典例4】（2020年全国I卷） 为椭圆 的左右顶点， 为直线 的动点， 分别与 交于 （异于 ），证明：直线 过定点．
解析：
【分析】 与 的交点 与 调和共轭，而 在定直线 上，故
【详解】设 ，取点 线段 使得 ，延长 ．
则
即
设 ，，，则 ，
有
又 在 上，得
同理 ，故 ，过定点 即为
又 ，故 过定点 .
联系客服
