这个算式左右都有q,因此无法直接计算出q来,因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。
我们来一个手工计算的例子:计算1234567890的开方
首先我们把这个数两位两位一组分开,计算出最高位为3。也就是(3)中的p,最下面一行的334为余数,也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值
3
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| 12 34 56 78 90
9
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| 3 34
下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边:
3 q
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| 12 34 56 78 90
9
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6q| 3 34
我们看到q为5时(60+q*q)的值最接近334,而且不超过334。于是我们得到:
3 5
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| 12 34 56 78 90
9
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65| 3 34
| 3 25
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9 56
接下来就是重复上面的步骤了,这里就不再啰嗦了。
这个手工算法其实和10进制关系不大,因此我们可以很容易的把它改为二进制,改为二进制之后,公式(3)就变成了:
我们来看一个例子,计算100(二进制1100100)的开方:
1 0 1 0
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| 1 10 01 00
1
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100| 0 10
| 0 00
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| 10 01
1001| 10 01
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0 00
这里每一步不再是把p乘以20了,而是把p乘以4,也就是把p右移两位,而由于q的值只能为0或者1,所以我们只需要判断余数(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小关系,如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1,否则该上一个0。
下面给出完成的C语言程序,其中root表示p,rem表示每步计算之后的余数,divisor表示(4*p+1),通过a>>30取a的最高 2位,通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4*p。程序完全是按照手工计算改写的,应该不难理解。
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