四、差和分学：从 Pascal 三角到 Leibniz三角
在1672年春天，Leibniz 抵达巴黎，他的第一个成就是发现求和可以用求差来计算，即用减法可以求算加法。后来他曾描述他为何会想到差分以及差分的差分（即二阶差分）等等的概念，并且强调差分扮演着他的所有数学思想的主角。在逻辑中，他彻底地分析真理，发现终究可化约成两件事：定义与恒真语句 (indentical truths)。反过来，由恒真语句就可推导出丰硕的结果。他举数列为例来展示：由 A=A 或 A-A=0出发，可得
A-A + B-B + C-C + D-D + E-E = 0
即 A - (A-B) - (B-C) - (C-D) - (D-E) - E = 0
令 A-B=K, B-C=L, C-D=M, D-E=N,
则得
亦即差之和等于第一项与最后一项之差。
换言之，给一个数列 v=(vk)，考虑接续两项之间的差
vk+1-vk=uk
所成的数列 u=(uk)，叫做（右）差分数列（还有左差分，同理可讨论），那么显然有
采用登山的解释就很明白了：想象山路铺成台阶，每一阶相对于地面的高度为 v1, v2,
, vn+1，而阶差高度为 u1, u2,
, un，那么从甲地登到乙地共升高
另一方面这又等于 vn+1-v1，参见下图 1。
图1
例子：考虑立方数列及其各阶差分数列：
由此我们立即读出
1+7+19+37+61=125-0=125,
7+19+37+61+91=216-1=215,
6+12+18+24+30=91-1=90,
12+18+24+30=91-7=84。
Leibniz 发现这个规律，觉得非常新奇、美妙，像小孩子玩积木一样兴奋不已。进一步，他研究 Pascal 三角（1654年，又叫算术三角）。Pascal 三角是作为开方、二项式展开、排列组合与机率之用，参见[2]，Leibniz 却从中玩索出差和分的道理。下面我们列出 Pascal 三角常见的三种排法：
(I)
(II)
(III)
问题： 请说明上述 Pascal 三角的构成法。
在(II)的排列法中，斜对角在线的数相加，所得到的数恰好构成费氏数列(Fibonacci sequence)：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
这个数列含有许多美妙的性质，我们不预备讲述。
由(III)的排列法中，Leibniz 立即读出许多关于行或列求和的结果，例如
3+6+10+15 = (4-1) + (10-4) + (20-10) + (35-20) = 35-1 = 34
同理
10+20+35+56=126-5=121。
Leibniz 在巴黎遇到 Huygens 时，对 Huygens 描述他用求差来求和的结果，Huygens 立即建议他做下面富于挑战性的问题。
问题：（Huygens 问题）
求无穷级数之和
这个问题涉及无穷多项的相加，它源自计算某种赌局 (a game of chance) 的机率。
这个级数每一项的分母恰是毕氏学派「形数」(figurate numbers) 中的三角形数：
因此，级数(1)就是三角形数的倒数之和。Leibniz 立即就求得这个和：因为
所以首 n 项之和为
从而
我们在机率史的文献上查不到 Huygens 的机率问题，不过我们倒有下面相关的例子：一个袋子装有一个白球及一个黑球，从中任取一个球，若得白球就停止；若得黑球，则再填加一个黑球到袋中，变成两黑一白，再任取一球，若得白球就停止；若又得黑球，则再添加一个黑球到袋中，变成三黑一白，如此继续下去，那么第一回合得白球的机率为
，第二回合得白球的机率为
，第三回合得白球的机率为
, … 等等，故终究得白球的机率为
Leibniz 解决了 Huygens 问题后，进一步模仿 Pascal 三角，建构一个今日所谓的「调和三角」(harmonic triangle) 或 Leibniz 三角，一口气解决了更多求无穷级数和的问题。
调和三角是这样做成的：第一行排上调和数列，第二行依次排上第一行的前项减去后项之差，以后就按此要领做下去，结果如下：
由此调和三角可以读出
从而 Huygens 问题的答案是
另外我们也可以读出
等等。将(2)式乘以 3 就得到角锥形数的倒数之和：
将(3)式乘以4就得到
同理也可得
Descartes 说得好：
由一个例子的考察，我们可以抽取出一条规律。
(From the consideration of an example we can form a rule.)
换言之，一个好的例子往往能够反映出一般规律，即特殊孕育出普遍，或所谓的「一叶知秋」、「见微知着」的意思。我们由上述例子归结出求和的共通模式 (pattern)：
定理 1：（差和分根本定理）
对于给定的一个数列 u=(un), n=1,2, …，如果可以找到另一个数列 v=(vn)，使得
un=vn+1-vn
那么就有
其中
且 ab。
我们引入适当的概念与记号：
定义：设 c=(cn) 为一个数列，令数列
为
（简记为
）。
我们称
为数列 c 的（第一阶）差分，Δ 为差分算子。
叫做定和分（简称和分）。
因此，定理1 引出了两个基本问题：
(i)研究差分算子 Δ 在运算上的基本性质。
(ii)已知一个数列 u=(un)，求另一个数列 v=(vn) 使得
。
第一个问题很容易，在此从略。其次，利用(i)，第二个问题原则上也不难。在
中，我们称 v 为 u 的反差分数列或不定和分。事实上，已知数列 u=(uk), k=1,2, … 定义一个新数列 b=(bn) 如下：
则易验知 b=(bn) 满足
换言之，b=(bn) 就是 u=(un) 的一个不定和分。显然，u 的不定和分不唯一，可以无穷多个（例如(5)式再加上任意常数都还是 u 的不定和分），但是任何两个不定和分只差个常数。
对这一切作深入而有系统的研究就是差和分学的内容（包括差分方程）。差和分的学习对于微积分的了解非常有帮助，因为两者不过是离散与连续之间的类推与观照而已。离散的差和分简单明了，再连续化就得到了微积分。一般微积分教科书往往有如下的缺点：忽略差和分学，或类推与连续化处理得不好。
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