紧接上文 曲线的曲率
我们用来表示中标准的数量积,中的曲面是由光滑映射给出的, 若映射的微分在每点处的秩都是2,则称曲面 是正规的.
在正规点处,由于
所以在点处的单位法向量可以定义为
如果法向量可以定义在整个平面上,则称这个正规曲面是可定向的,这样的就称为曲面的一个定向.
由于, 我们可以将视为到中单位球的映射:
称其为曲面的Gauss映射(或法映射,球面映射), 是曲面的球面像.
命题: Gauss映射的切映射是自伴随的线性映射.
证明: 由于是线性的,我们只需要证明
其中是的一组基. 设是曲面在处的参数化,是的一组基, 是曲面上经过的曲线,则
于是得
分别对和 关于和求导,得
所以
即 $dN_p$是伴随的.
曲面的面积定义为
其中称为的面积元.
如何来讨论中的曲面在中的弯曲程度呢? 一个比较好的办法就是看曲面的法向量是如何改变的,即法向量沿每个方向的变号程度,于是我们引入曲面的形状算子: 设是中的浸入曲面, 是曲面的单位法向量, , , 定义 , 则称线性算子为曲面的形状算子,它刻画了曲面在一点处沿每个给定方向的弯曲程度. 如果是平面,则. 如果是可定向的浸入曲面,在曲面上的每一点处,单位法向量就有两种选择: 和, 则相应的形状算子就相差一个负号. 如果曲面是不可定向的,则不能连续地定义在整个曲面上,但局部地还是可以定义的,因为, 总存在点的邻域, 使得是浸入,所以形状算子就可以定义在上,另外,由定义可得
尽管形状算子可以刻画曲面在不同方向上的弯曲程度,但我们还是希望能有一个实值的函数来刻画,那就是曲面的法曲率. 设是定向曲面, 是的法向量, 是的一个单位切向量, 令是一个法截面,则是一平面曲线, 设其曲率为, 称为曲面关于方向的法曲率. 当指向曲面的凹侧(即曲面朝法向弯曲)时. 取, 否则取. 如果, 则称是渐近方向, 如果曲面上的正规连通曲线其上每一点的切方向都是渐近方向, 则称其为曲面的渐近曲线.
例: 对任意的单位切向量,球面的法曲率为.
定义: 称 和为曲面的主曲率, 称, 分别为曲面的Gauss曲率和平均曲率.
取到主曲率的方向称为主方向, 相应的法截面称为主法截面.由定义可知,若法截面与某主法截面的夹角为, 则. 另外,对于平均曲率和Gauss曲率总有, 曲面上满足即的点称为脐点.
设是Gauss映射,, 则
(因为), 当保持的定向时取正号.
设的变分是, 当很小时, 也是光滑的, 设为的面积, 则
问题(Lagrange,1760): 给定中的光滑闭曲线, 是否存在以为边界且面积最小的曲面?.
由易知, 该问题的任意解均满足, 事实上, 若是上述问题的解,则对任意的和任意小的, 有
在最后一步中, 若在某邻域上, 取使得: , 在上; ,在上, 则得矛盾.
定义: 中平均曲率的曲面称为极小曲面
于是我们得到
命题: 具有相同边界的所有曲面中面积最小的曲面一定是极小曲面.
中极小曲面的例子:
平面
两个极小图:
(1)悬链面: 由坐标面上的曲线绕轴旋转得到的, 其参数方程为:
(2)螺旋面: , 其参数表示为
定理:(Catalan)中直纹的极小曲面只有平面和螺旋面.
定理(Bernstein) 定义在整个平面上的极小曲面一定是平面.
定理(Bonnet) 中非平坦的旋转极小曲面只有悬链面.
证明: 设以轴为旋转轴的旋转曲面的参数表示为
其中是二次连续可微函数. 因为曲面是极小的,所以有下面的微分方程:
又 , 所以在的点附近,, 这样, 上面的方程又可以表示为的形式,由于(否则曲面为平面), 我们可以视为的函数,则上面的微分方程为
其中表示关于的导数, 将上式变形为
两边积分得
其中为常数, 于是有
两边积分得
所以微分方程的解为, 此时曲面为悬链面
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