如何通俗地解释合同矩阵

同一个二次曲线，在不同基下需要用不同的二次型矩阵表示。这两个二次型矩阵就称为合同矩阵。

1 解释

1.1 直角坐标系

假设我们有这样一个椭圆,它在直角坐标系下的对应方程为

1.2 自然基

下面，我们这个方程用二次型表示为

其中就是椭圆上的点在自然基下的坐标

1.3 非自然基

既然椭圆可以表示在自然基下，当然也可以表示在非自然基下

假设椭圆在某非自然基的对应方程为

就是椭圆上的点在非自然基下的坐标

1.4 合同矩阵

可以看到，是同一个椭圆在不同基下对应的二次型,它们就被称为合同矩阵。

而我们知道，若满足

$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$ 它们才能称为合同阵,那这又是怎么得来的呢？下面我们就来推导一下

2 验证

假设由自然基到非自然基的过渡矩阵为

首先，根据坐标变换公式有

$[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}=\boldsymbol{P}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}$ 然后，将这个式子与左边的椭圆方程联立

$\left.\begin{align*}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}=\boldsymbol{P}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}&\\\[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}^T\boldsymbol{A}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}=1&\end{align*}\right\}\Longrightarrow [\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}=1$ 最后，令

$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$ 这样，我们就得到了上面那幅图中，曲线在非自然基下的表达式

3 例题

例:已知某曲线,在直角坐标系下的方程为,现将坐标系逆时针旋转,形成新的坐标系。

求此曲线在坐标系下的表达式

3.1 分析

本题，我们可以利用合同矩阵的知识来做

(1)首先,将曲线用向量形式，表示在自然基下

(2)然后,利用过渡矩阵，对向量空间进行换基

(3)最后,再将新的基下的曲线写回一般方程的形式

这样，我们可以就利用黄色路径来完成题目

3.2 求解

解:(1)令自然基下的坐标向量为,则在自然基下可以表示为

(2)令非自然基的坐标向量为,则

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\boldsymbol{P}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ 其中为旋转矩阵

$\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}\cos \frac{\pi}{4}&-\sin \frac{\pi}{4}\\\sin \frac{\pi}{4}&\cos \frac{\pi}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}$ 那么曲线在非自然基下的表达式为

$[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}=1$ 带入数据,整理后可得

$\begin{pmatrix}y_1&y_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=1$ 这里的就是的合同矩阵

(3)最后将非自然基下这个矩阵方程写回坐标系,得到曲线在下的表达式为

我们用同样的通俗易懂、图形化的方式，对《线性代数》、《单变量微积分》、《多变量微积分》、《概率论与数理统计》进行了精讲：

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