(文章有少许错误,请见谅)设是一给定的复流形, 是任意给定的点,我们以表示由点邻域上的复值可微函数全体组成的环(中不同的函数可以有不同的定义域). 下面类比于实的微分流形,我们首先给出复流形在点的复切空间的定义.
定义: 设是复流形中给定的点,映射如果满足 (1) 线性型 对于任意, 恒有
(2) Leibniz法则 对于任意, 恒有
. 则称为在点的一个复切向量. **例1** 设是点邻域上的常值函数, 是点的一个复切向量,则由, 得, 因而以表示在点所有复切向量组成的集合,在中定义元素之间的加法为:对于任意,以及, 令
同样地, 定义中元素对复数的数乘为:对于任意, ,以及任意, 令
不难看出和都是点的复切向量.利用这些加法和数乘运算, 构成一线性空间,称为流形在点的复切空间.与实流形上切空间的定义比较,在上面复切空间的定义中,我们看到除了用复数代替实数,用复值函数代替实值函数,用复线性映射代替实线性映射外,其余部分都是一样的. 但是,对于复流形,除了可微函数之外,最基本的讨论对象是解析函数. 因此,自然的问题是:在考虑了复流形上的解析结构之后,复流形的切空间能够产生什么新的变化?与实流形的切空间比较有什么不同?下面我们以表示由点邻域上的解析函数全体构成的环,则是的子环.令
中的函数称为点邻域上的反解析函数.
定义: 复切向量如果满足:对于点邻域上的任意反解析函数, 恒有, 则称为点的全纯切向量;复切向量如果满足:对于点邻域上的任意解析函数, 恒有, 则称为点的反全纯切向量.
由定义不难看出,全纯切向量的和以及全纯切向量对于复数的数乘仍然是全纯切向量,而反全纯切向量的和以及反全纯切向量对于复数的数乘仍然是反全纯切向量.因此,如果以和分别表示由点所有全纯切向量和反全纯切向量构成的集合,则和都是的线性子空间.
引理:
证明: 取定点一个邻域和上的局部坐标满足 , 并且与由坐标给出的单位球相同.对于任意以及任意给定的, 令, 其中. 利用可微函数在点的带积分余项的Taylor展开,我们知道
令, 根据求导的链式法则,我们得到,函数关于复变量和在点(的点)带积分余项的二阶Taylor展开
下面为了符号简单,我们将在点邻域上的这一展开式表示为
其中和分别是和的线性函数. 而对于, 和是点邻域上的可微函数, 满足.对于, 上面展开式中的函数和是唯一确定的.
现设, 则对任意, 在上面的展开中,成立,以及 , 我们得到. 但是其中的是任意的,因此必须有,即
另一方面,对于任意, , 设是上面给出的分解, 由 , 令
则, , 而. 证毕.
线性空间和分别称为复流形在点的全纯切空间和反全纯切空间.
同样与微分流形上余切空间的定义相同,我们定义复流形在点的复余切空间为复切空间的对偶空间, 即在点的复余切空间定义为
中的元素称为复流形在点的余切向量, 通常也称为点的一次微分形式.
例2 设函数给定,利用可以定义到的映射: 对任意, 令, 则是上的线性函数.因而是一余切向量,或者说是一个一次微分形式, 通常将这一微分形式,或者说映射称为函数在点的微分.
相应于切空间关于全纯切空间和反全纯切空间的直和分解.余切空间也有同样的直和分解.
定义: 余切向量如果满足:对于任意反全纯切向量, 恒有, 则称为全纯余切向量;余切向量如果满足:对于任意全纯切向量, 恒有 , 则称为反全纯余切向量.
显然全纯余切向量(反全纯余切向量)的和以及对复数的数乘仍然是全纯余切向量(反全纯余切向量),因此如果我们以和分别表示点的全体全纯余切向量和全体反全纯余切向量的集合,则和都是的线性子空间.而相应于切空间的直和分解,余切空间也有直和分解
通常我们将和中的元素分布称为型和型微分形式.将称为全纯余切空间, 称为反全纯余切空间.当然我们也可以将和分别看作线性空间和的对偶空间.
下面我们利用点邻域的局部坐标给出上面切空间和余切空间的具体表示.设是点邻域的局部坐标,满足对于, . 对,我们定义映射和 分别为,对于任意, 令
利用偏导数的性质,不难验证, 和 都是点的切向量.
“引理: 构成的一组基
”
证明:
由复分析的知识,我们知道,判断一个函数是否是解析函数Cauchy-Riemann方程可以表示为: 可微函数为解析函数的充分必要条件是.而可微函数为反解析函数的充要条件是. 因此,对于切空间,Cauchy-Riemann方程也可以表示为
都是全纯切向量. 它们构成全纯切空间的线性基;而
都是反全纯切向量,它们也构成全纯切空间的线性基.
同样地,利用局部坐标,我们也可以构造处余切空间的一组线性基.
首先对于局部坐标, 分量和 都是点邻域的可微函数,因此其微分和 都是点的余切向量.而另一方面,由余切向量的定义得
所以集合构成的线性基,其中都是全纯余切向量, 构成了全纯余切空间的线性基. 这组基是中线性基的对偶基.而 都是反全纯余切向量,构成了反全纯余切空间的线性基,这组基是中线性基的对偶基.
如果是点邻域的另一组局部坐标,利用求导法则, 不难得到,对于坐标变换,我们有相应的切空间和余切空间的线性变换公式
我们看到,在坐标变换下,方向和方向的切向量分别变到方向和方向的切向量.而 -型微分形式和微分形式分别变到 型微分形式和型微分形式. 即我们前面给出的切空间和余切空间的直和分解以及 都与局部坐标的选取无关.当然,对于这一点,由于我们在定义全纯切向量和反全纯切向量时就没有用到局部坐标,因而上面的分解与局部坐标的选取无关也是显然的.
类似于上面的坐标变换,更一般地,我们可以考虑切空间和余切空间在可微映射下的关系.设是维复流形到维复流形的可微映射, 是任意给定的点.对于中点邻域上的任意可微函数, 是中是中点邻域上的可微函数.因此,如果是点给定的切向量,则可用作用在上,由此我们可以定义一个映射为 . 不难看出, 满足线性性和Leibniz法则,因而是中点的切向量.利用此,我们得到线性映射
成为在点的切映射.
另一方面,对于流形在点任意给定的一个余切向量,对于流形在点任意给定的余切向量 是上的线性函数,因而利用线性映射,我们可以定义上的一个线性函数为:对于任意, 令, . 由此得到映射的对偶映射
成为映射的拉回映射,也成为映射的微分.
现设和分别是点邻域和点邻域的局部坐标,映射在点领域表示为. 利用求导的链式法则,对于利用局部坐标给出的切空间和的线性基,切映射可表示为
同理,对于利用局部坐标给出的余切空间和的线性基,拉回映射可表示为
如果进一步假设是解析映射,则切映射可表示为
而拉回映射可表示为
和将全纯和反全纯的向量分别映为全纯和反全纯的向量.
例3: 设是维复流形上的解析函数,是任意给定的点,是点邻域的局部坐标,以表示复平面上的全纯微分,则就是在通常意义下的微分.
例4: 设是维复流形,是实轴中的区间到中的光滑曲线.如果我们以表示实轴的切向量,则就是曲线的切向量.现设是的局部坐标,表示为, 则曲线的切向量为
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