如何通俗地解释特征值与特征向量

同学们大家好，今天我们来学习特征值、特征向量。

1 印象

我们知道矩阵完成的是一个向量空间，到另一个向量空间的映射。比如某向量  ,经过矩阵映射后，变成了  。某向量  ,经过矩阵映射后，变成了  。

在这个例子中,映射前的向量  与其对应的映射后向量  不在一条直线上,而映射前的向量  与其对应的映射后向量  在一条直线上。

也就是说，  矩阵对  只是起到了伸缩作用。那么这里的  ，就可以写成 

这里的  就称为矩阵  的特征值，  就称为此特征值对应的特征向量。

设  是  阶方阵，  为非零向量，若存在数  使得下式成立：

那么将数  称为  的特征值（Eigenvalue），非零向量  称为  的对应于  的特征向量（Eigenvector）。

2 例子

比如我们有这样一张图片。

在图的中间，画一条线，下面我们我们沿着这条线，对图片进行翻转。而留言、点赞、转发的三个图标从左边变到了右边。

为了更好的显示映射过程，我们把原始图片放在左边。并在上面表示出水平方向和垂直方向上的向量。下面我们通过翻转矩阵，对图片进行翻转。

2.1 红色向量

先看红色这组向量,可以看到，翻转后，红色向量的方向保持不变，与翻转前保持在一条直线上，因此左边这个红色向量是特征向量。

又因为映射后其长度没有发生改变，因此特征值是1。也就是说，若左边红色向量为  ,那么右边红色向量就是  。这里的1就是翻转矩阵的一个特征值,  是特征值1所对应的一个特征向量。

2.2 黄色向量

看完了红色向量，下面来看看黄色向量。可以看到，翻转后，黄色向量完全转向，但与翻转前仍然保持在一条直线上。因此左边这个黄色向量仍然是特征向量。

又因为映射后其长度没有发生改变，因此特征值是-1,也就是说，若左边黄色向量为  ,那么右边黄边向量就是  。这里的-1就是翻转矩阵的另一个特征值，  是特征值-1所对应的一个特征向量。

概念理解了,下面我们来具体计算一下。

3 计算

例:求矩阵  的特征值与特征向量

解:(1)由定义写出方程：

(2)由于特征向量  为非零向量，因此方程  有非零解，因此：

(3)解出特征值：

解得：

(4)  时求解特征向量：

(5)  时求解特征向量：

4 最后的话

最后，再多说一下,因为水平的方向上的特征值为-1，竖直方向上的特征值为1,那么这个矩阵，其实就是我们前面用到的翻转矩阵。