有限元法是一种将偏微分方程转化为线性代数方程组,进而求解边值问题的数值方法,最早由Courant于1973年提出,用来求解势论中的变分问题,自此以后该方法得到了极大的发展,并被广泛应用于结构力学分析以及其他领域问题的求解。由于有限元法不仅能适应各种复杂结构,而且计算精度高,因此成为了处理微波工程和电磁学问题的一种通用方法。
本文从有限元法的一般原理出发,推导出矢量场的边值问题,从而建立有限元公式。
使用加权残差法或变分法可以建立有限元公式。加权残差法是从边值问题的偏微分方程出发,而变分法则是从边值问题的变分形式出发。本小节采用加权残差法来建立有限元公式,
考虑如下偏微分方程:
式中, L为微分算子,
式中, ( =1,2,…,N )为基函数,其线性组合可表示未知解;
给定一组加权函数,式(2-3)就定义了一个代数方程组,在满足边界条件的要求下求解该代数方程组即可得到
或
式中,
对于自共轭问题,则有
因此有
在构建有限元公式过程中,最关键的一步是找到一组可以用来展开未知解的基函数,但对于不规则形状的二维三维问题,这一步骤极其困难。因此有限元法的基本思想是将求解区域 划分为许多子域,称为有限单元(有限元),然后使用简单的基函数来近似单元内的未知解。
在构建有限元公式过程中,最关键的一步是找到一组可以用来展开未知解的基函数,但对于不规则形状的二维三维问题,这一步骤极其困难。因此有限元法的基本思想是将求解区域
在介电常数为
消去式(2-9)中和式(2-10)中的 ,可得到关于
式中,
处理两种不同的电场边界条件-理想导体表面的齐次Dirichlet条件和阻抗表面的混合边界条件,将边界条件假设为:
式中,P是边界
式(2-13)至式(2-15)所描述的边值问题通常很复杂,尤其是当求解区域 不规则以及相对介电常数 非均匀时,很难得到封闭形式的解析解,而数值算法中的有限元法因具有能够处理任意形状边界和非均匀媒质的能力成为了唯一选择。
采用加权残差法建立有限元公式,给式(2-13)乘以一个合适的加权函数
对式(2-16)应用矢量恒等式
后,其中
再应用高斯定理
然后,应用式(2-15)的边界条件,得到式(2-13)的弱式表达式为
式(2-20)作为有限元的基本方程,被用于有限元计算区域划分出的每个子区域。
将区域
式中,
式中,
由于每一个单元中的电场E 都可以用该单元中棱边上的切向电场分量进行插值,因此整个区域
式中,
将式(2-23)代入式(2-20)中,使用矢量基函数
式中,
式(2-24)可以写成紧凑形式
求解上式可得到
求解该矩阵方程一般有两种方法:迭代求解和直接求解。前者包括共轭梯度法和广义最小残差法等,迭代求解法是一种逼近精确解的近似方法,该方法因程序设计简单和消耗低计算机内存,常常被用于大型稀疏矩阵求解。而后者有高斯消元法、LU分解法、LDLT分解法等,这些方法通过有限步运算便可以得到精确解。
联系客服