偏振变换：穆勒矩阵法

光的偏振可通过斯托克斯矢量描述，但很多时候我们更想知道不同的偏振元件将如何改变偏振。因为输入和输出偏振都可用一个四元素矢量表示，Hans Mueller想到了使用具有16个参数的4x4矩阵描述这种偏振改变过程。如果偏振元件可用一个穆勒矩阵表示，那么将其与输入偏振的斯托克斯矢量点乘就能得出输出偏振。

只用两种偏振光学元件就能改变偏振椭圆的三个参数，即两个正交振幅和一个相位。振幅通过偏振片改变，而相位通过波片(延迟器)改变。另外，偏振椭圆还能通过旋光器旋转。使用这三种偏振元件可产生任意的偏振态。

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偏振光学元件

偏振片是一种改变振幅的偏振元件，而这种性质可通过x和y轴的两个吸收系数进行描述。两个系数都是对振幅的影响，其中0表示完全吸收而1表示完全透过。

由此可得到线偏振片的通用穆勒矩阵：

对于理想的线偏振片，平行于透射轴的偏振光被完全透过，但垂直于透射轴的偏振光被完全阻挡。如果偏振片的透射轴沿x轴，穆勒矩阵为：

如果透射轴沿y轴，穆勒矩阵为：

如果两个偏振片的透射轴一个沿x轴，另一个沿y轴，这样就形成了一对正交偏振片。两者的穆勒矩阵相乘将得到一个零矩阵，说明没有光能从一对理想的正交偏振片中透过。

当两轴的吸收系数相同(pₓ = pᵧ = p)时将发生另一种有趣的情况：入射光的偏振保持不变，但强度降低至原来的p²倍，这可从下面的矩阵运算中看出。

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波片/相位延迟器使得沿快轴(假设为x轴)的偏振分量产生+ɸ/2的相位变化，而沿慢轴(假设为y轴)的偏振分量产生-ɸ/2的相位变化。

波片的穆勒矩阵为：

其中ɸ = ɸₓ - ɸᵧ = +ɸ/2 - (-ɸ/2)为两个正交分量之间的总相位差。四分之一波片和半波片是两种最常用的波片，它们的穆勒矩阵分别为：

四分之一波片可将+45°线偏振光变成右旋圆偏振光：

或者将右旋圆偏振光变成-45°线偏振光：

常见偏振态的归一化斯托克斯矢量

半波片能使偏振椭圆的方位角和椭圆度反向：

根据方位角(Ψ)和椭圆度(χ)与斯托克斯参数的关系：

通过比较可知输入和输出偏振椭圆满足以下关系：

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旋光器的穆勒矩阵为：

其中θ为旋转角。旋光器只旋转偏振椭圆，也就是只改变方位角(Ψ)，但不改变椭圆度(χ)。这一点可通过下面的矩阵运算中看出：

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旋转的偏振光学元件

前面介绍的偏振片透射轴或波片快轴都沿x轴。如果一个偏振光学元件从x轴旋转θ角，则旋转后的穆勒矩阵为：

理想线偏振片旋转θ角后的穆勒矩阵为：

对于θ = 0°、45°、90°或135°的特殊情况：

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波片旋转θ角后的穆勒矩阵为：

旋转半波片的穆勒矩阵为：

这个矩阵看起来有点像旋光器的矩阵，两者的差别在于θ角变为了两倍，而负号说明方位角和椭圆度都是反的。因此，这是一个伪旋光器。

旋转四分之一波片的穆勒矩阵为：

将此矩阵与+45度线偏振光的斯托克斯矢量相乘得：

四分之一波片从0°开始以45°步进旋转的斯托克斯矢量依次为：

因此，这样旋转能产生右旋圆偏振光、+45°线偏振和左旋圆偏振，但未能产生垂直线偏振、水平线偏振或-45°线偏振光。

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穆勒矩阵应用

马吕斯定律  当水平线偏振光通过旋转线偏振片时，

输出光束的斯托克斯矢量为：

因此，输出仍为线偏振光，但强度变为：

这正是马吕斯定律。

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光快门可通过偏振片和波片组成。虽然一对正交偏振片无法透光，但如果在中间插入一个波片，且快轴和偏振片的透射轴成+45°，这样就能通过改变波片的相位控制第二个偏振片的透射强度。下图展示了一种光快门的配置。

快轴45°的可调波片的穆勒矩阵为：

对于任意输入光束，输出光束的斯托克斯矢量为：

输出强度和波片相位ɸ的关系为：

当ɸ = 0°时，也就是没有插入波片的时候，输出强度为零。如果输入垂直线偏振光束，输出光束的强度也将为零。最大强度发生在相位为180°的时候，因此通过使波片相位从0到180°变化(比如使用液晶可调相位延迟器)，输出强度就能得到完全的控制。

Thorlabs液晶光快门

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斯托克斯参数的经典测量方法也能通过穆勒矩阵推导。这需要一个快轴固定在0度的波片和一个旋转线偏振片，而两个偏振元件组合的穆勒矩阵为：

输出强度随偏振片角度θ和波片相位ɸ的关系为：

测量示意图

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光学小传：汉斯·穆勒(Hans Mueller)

即使在偏振光学中与大名鼎鼎的斯托克斯并肩，汉斯·穆勒好像很不为人熟知。说起穆勒，总感觉这是一个配得上某位传奇人物的名字，然而我们不禁好奇，这位穆勒又是谁？

1900年10月27日，汉斯·穆勒出生在瑞士图尔高州的一个乡村。1923年，他在苏黎士联邦理工学院获得了科学和数学教师文凭。在随后两年的研究生教育中，他的导师是彼得·德拜(诺奖得主)和保罗·谢尔教授。1925年，穆勒和德拜访问了MIT，但后者独自回到了瑞士，而穆勒则接受了MIT物理系的一个研究助理的职位。1928年，他在MIT工作时完成了关于胶体电荷和凝结的博士论文。1942年，穆勒成为MIT正教授。

物质的胶态是1920年代物理化学最活跃的领域之一，而穆勒也在MIT继续他的胶体研究，不过也开始研究晶体的介电和光学性质以及光弹效应，并发表了一些关于罗谢尔盐(最早的铁电晶体)的一些论文。

穆勒是MIT最受欢迎的老师之一，并对物理课程做出了关键的贡献。他的教学风格包括生动的手势和带德语口音的洪亮声音。当穆勒因为转动汽车而导致手腕骨折时，有些学生以为那肯定是讲课时发生的；因为他在模拟电磁波时摆手实在是太猛了。

正在做物理演示的穆勒教授

穆勒在二战时涉足了血清白蛋白溶液的光散射研究，这为他在1943年创造同名矩阵发挥了重要的作用。他开始对光学仪器的数学理论及其与偏振光的关系感兴趣，并以光强测量为基础进行光学研究。光学仪器可通过对偏振矢量的线性变换进行描述，由此可知道仪器，特别是偏振仪器对偏振态非常复杂的影响。

穆勒的矩阵系统在那时还没有很好的文献记录，而且是保密的，但仍出现在1946至1949年的MIT光学基础课程中。美国光学学会1948年的冬季会议中也有过这些矩阵的报告。他的学生Nathan Grier Park III则在以矩阵光学为题的博士论文中阐述了这种方法。

1965年6月10日，穆勒逝世于马赛诸塞州贝尔蒙特。