为什么梯度方向是函数值变化最快的方向，彻底弄懂梯度下降算法的数学原理

大家好，我是小黑黑。今天我们要讨论的主题是：为什么梯度方向是函数值变化最快的方向。

在这篇文章中，我会详细地讲解，梯度下降算法所依赖的数学原理。让同学们切实理解梯度的数学概念，为理解梯度下降算法打下基础。

考虑下面这个问题

设多元函数，f(x, y)=x^2+y^2。在多元函数上有一点P(x0, y0)，如果我们从这一点出发，沿着哪个方向运动，能使函数f(x, y)增大或减小的最快呢？

先说结论，函数上的某一点，如果沿着函数梯度的方向运动，那么函数增加的最快，如果沿着函数梯度的反方向运动，函数减小的最快。接下来，我们就详细地讨论这个问题。

梯度的基本概念

梯度，英文是gradient，是微积分和向量分析中的重要概念，可以定义为一个多元函数全部偏导数所构成的向量。我们使用倒三角符号▽，nabla，表示某个函数的梯度。

例如，二元函数f(x, y)，它的梯度就是函数f，对x和y求偏导组成的二维向量。三元函数g(x, y, z)的梯度是，g对x，y，z求偏导组成的三维向量。n元函数f(θ1，θ2，…，θn)的梯度是，f分别对n个自变量求偏导构成的n维向量。

二元函数与函数上某点的梯度

为了更加直观的说明函数与梯度的关系，我们画出，二元函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点(1, 1)处的梯度向量。这里将函数上的一点P(1, 1, 2)，标记为红色。将该点向灰色的x-o-y平面投影，标记为蓝色。

从蓝色点出发，画出向量(2, 2)，使用黑色箭头表示，它就是点(1, 1, 2)的梯度向量。对于输入点(1, 1)，如果它沿着(2, 2)方向运动，函数会增加得最快。

这里要注意，因为梯度向量是在函数的输入空间中定义的，对应x-o-y平面，因此我们画出了蓝色的投影点，并从该点画梯度向量。另外，我们可以将视角调整俯视，进一步观察黑色的梯度向量。

 梯度向量的计算

仍然使用这个例子，说明梯度的计算方法。计算函数f(x, y) = x^2 + y^2的梯度。首先，需要分别求出f(x, y)关于x和y的偏导数。

然后将这两个偏导数组合成一个梯度向量(2x, 2y)，它表示了f(x, y)在任意点(x, y)上的变化方向和速率。将坐标(1, 1)带入，计算点(1, 1)处的梯度，可以得到向量(2, 2)。

梯度的性质

梯度的方向是函数值上升最快的方向。对于函数上的某个点，如果沿着梯度方向移动，那么函数值增加得最快。如果沿着梯度的反方向移动，函数值减小得最快。

例如，对于点(1, 1)，沿着方向(2, 2)运动，函数值会增加地的最快。沿着负梯度方向(-2, -2)运动，函数值减小得最快。接下来，我们举例说明这条性质。

仍然讨论点P(1, 1, 2)的运动。将函数图像调整为俯视角度，可以观察P点的自变量取值(1, 1)，与其可能的运动方向。调整为平视角度，可以观察到函数值f(1, 1)=2。

接下来，我们会从点P出发，向不同的方向运动相同的长度，来说明沿着梯度方向运动，函数值会变化得最快。

为什么沿梯度方向运动，函数值变化得最快

基于俯视的角度观察函数。在xOy平面上，设置3个方向向量，(-1, 0)、(1, 0)和(2, 2)，代表接下来自变量x和y要变化的方向。分别是向左运动，向右运动和沿梯度方向运动。

接着我们要从P点沿着(-1, 0)、(1, 0)和(2, 2)这三个向量的方向，运动1个单位，到达A、B、C三个点。然后比较A、B、C这三个点的函数值，相比P点函数值的变化。

如果从点P(1, 1)，按照向量(-1, 0)的方向，移动1个单位，会到达A点。A点(0，1)处的函数值为f(x, y)=0^2+1^2=1。

我们会发现，f(0, 1)相比f(1, 1)减小了1。这里从侧面，观察图像上点的运动，可以更容易看出函数值的变化。

如果从点P(1, 1)，按照向量(1, 0)的方向移动1个单位，会到达B点(2, 1)。该点的函数值是，f(x, y)=2^2+1^2=5，f(2, 1)比f(1, 1)增加了3。

最后按照梯度方向(2, 2)移动1个单位，大约会到达C点。这里需要将梯度转换为单位向量，也就是根号2分之1,根号2分之1，进行计算。

C点大概在(1.707，1.707)这个位置，这里的1.707是1+的近似值。此时函数值为1.707^2 + 1.707^2 = 5.828，比f(1, 1)增加了3.828，是增加的最多的。

 从这个例子中可以看到，同样是移动单位1的长度，如果函数上的某个点，沿着该点的梯度方向移动，函数增长得最为迅猛。相应的，如果沿着梯度的反方向运动，函数的值减小得最快。

关于该性质的严格数学证明，有兴趣的同学，可以继续深入学习'方向导数'和'梯度方向与方向导数的关系'的相关概念。

另外，在机器学习的训练算法中，我们总是需要找到目标函数的最小值。因此从函数的某一个点出发，使该点沿着梯度的反方向运动，会使函数减小得最快。

基于这样的运动方式，就可以更快地使函数收敛到最小，这也是梯度下降算法的理论基础。

最后，给大家留一个思考题，既然梯度方向是函数变化最快的方向，那么什么方向是函数变化最慢的方向呢？

那么到这里，为什么梯度方向是函数值变化最快的方向，这一主题就讲完了。感谢大家的观看，我们下节课再会。