在数学表达式中,如果一个索引(比如一个字母)同时作为上标和下标出现,这表示对该索引进行求和运算,涵盖了该索引的所有可能值。这种索引被称为哑指数。假设我们有一个三维向量空间,并选择了一个基集,包括三个基向量 e_1, e_2, 和 e_3。现在,我们有一个向量 v 在这个空间中,它可以用这个基集来表示。向量 v 的分量可以用 v¹, v², v³ 来表示,这些分量是与基向量 e_1, e_2, 和 e_3相对应的标量倍数。现在,让我们用这些分量来表达向量 v。在不使用爱因斯坦求和约定的情况下,向量 v 的表示为:
这里,v¹, v², 和 v³ 是向量 v 在基向量 e_1, e_2, 和 e_3 方向上的分量。但是,如果我们应用爱因斯坦求和约定,我们不需要显式地写出求和符号。我们只需写出每个分量和对应基向量的乘积,并默认所有具有重复索引的项都会被求和。这样,向量 v 的表示就变成了:
在这个表达式中,i 是一个哑指数,它在这个表达式中重复出现了(一次作为上标,一次作为下标)。根据爱因斯坦求和约定,这意味着我们将对 i 的所有可能值进行求和,即 i = 1, 2, 3。因此,这个表达式隐含了上面提到的完整求和过程,即:
通常将向量分量表示为列。
向量空间的维度向量空间的维度是所需的基向量的最少数量。向量空间之间的映射在两个向量空间U和V之间,存在一种映射M,它定义了一种特定的方式,将U空间中的每一个向量转换为V空间中的一个对应向量。这个过程意味着映射M接受U空间中的向量作为输入,并根据某种规则,产生V空间中的一个对应向量作为输出。这种映射是系统性的,确保U空间中的每个向量都能找到一个与之对应的V空间中的向量。假设 U 是一个二维向量空间,其中的向量可以表示为 (u1, u2) 的形式,其中 u1 和 u2 是实数。V 是一个三维向量空间,其中的向量表示为 (v1, v2, v3)。现在,我们定义一个映射 M,它将 U 空间中的每个向量转换为 V 空间中的一个向量。例如,我们可以定义映射 M 如下:
这意味着,对于 U 空间中的任何向量 (u1, u2),映射 M 会产生 V 空间中的向量 (2u1, u1 + u2, 3u2)。线性映射是一种也遵守以下性质的映射:
在定义线性映射时,需要确保两个向量空间 U 和 V 都基于同一个数学结构,即同一个域F,这样在这两个空间中的运算才能保持一致性。这个域F可以是实数集或复数集等,提供了加法、减法、乘法和除法运算的基础。线性映射之所以有用,是因为它保持了向量的加法和标量乘法结构不变。这意味着,只需知道向量空间的基向量在映射下的结果,就可以确定任何向量在该映射下的结果。这是因为向量空间中的任何向量都可以表示为基向量的线性组合,因此,一旦基向量的映射结果已知,就可以通过相应的线性组合计算出任何向量的映射结果。