对“偏导数”和“梯度”最形象直观的解释

偏导数和梯度是数学中的重要概念，贯穿于许多自然学科，本篇就用形象的图形来解释它们的原理。

图中是有X Y 变量 和有X Y变量组成的函数Z=f（X,Y）图形

我们保持X值不变，仅改变Y值得情况下​如图

Z值仅随Y值在变化，所以Z的变化量除以Y​的变换量就是该线的斜率

将X换个固定值，同样Z的变化量除以Y的变换量就是该线的斜率，只是斜率的大小不一样

Z的增量除以Y的增量，我们称之为Z对Y的偏导数

同理，我们保持Y值不变，Z值仅随X值改变，Z的增量除以X的增量，我们称之为Z对X的偏导数

我们用一个箭头来表示​斜率的正负，箭头表示斜率的大小

斜率不同箭头方向不同​

每个点都有一个箭头来表示Z对X的偏导数​

每个点都有一个箭头来表示Z对X的偏导数​

我们将这两个箭头向量相加，就得到一个新向量，称之为Z的梯度

Z的梯度向量总是指向Z函数增长最大的地方​

所以可以得出梯度是Z=f（X,Y）某一点的含有方向的导数，这个方向导数乘以该点的单位向量，就得到一个准确数值，这个数值就是该点在这个方向上的变换率。

偏导数和梯度是数学和许多物理学科非常重要的概念。