什么？欧拉怎么又弄出一个定理来？晕~+_+
刚体欧拉转动定理是怎么说的呢？又是怎么证明的呢？我们一起来看看吧~
也就是说——当你玩陀螺的时候，陀螺在任何一个时间段内的的定点运动（假如陀螺脚底不打滑）都可以看成是陀螺在绕着过陀螺脚那一点的“轴”进行了一次转动。
当然可以了！
没学好线性代数的筒子们要注意了啊，赶紧复习一下，以免“感动”到哭~
要想证明刚体欧拉定理，我们肯定要先找到这个“轴”，这个“轴”在哪呢？
嗯，很难回答。其实，我们的任务不是去为每一个陀螺找“轴”，这很难实现。我们的任务是来证明这个“轴”确实存在，只要证明了“轴存在”，那就说明欧拉定理是真的成立的。
假设设在静止坐标系内有一个刚体（什么样的刚体就别管啦），正在以点为基点做定点运动，此处应有图↓
有另外一个坐标系与刚体固连，并且假设两个坐标系在初始时刻完全重合。静止坐标系和固连坐标系的单位基矢分别为和，其中.有同学会说：你这是搞什么啊？弄得那么“反人类”！O(∩.∩)O嘿嘿~ “反人类”的东西还在后面呢！
这句话无非就是说静止坐标系和固连坐标系的的三个坐标单位矢量分别是：、、和、、 . 咱们还是得尽量熟悉一下这种数学表述啊！
相信大家的线性代数已经学(wang)好(guang)了（赶紧复习！），聪明的你会立即反应过来，两组坐标基矢之间存在变换关系！我们把这个变换矩阵叫做，于是有：（1）
我们考虑一下这些量的“含时性”. 所谓“含时”就是指这个量会跟随时间变化，具体到表达式，就是这个量是时间的函数.由于刚体一直在运动，所以固连于刚体的坐标系的基矢方向也时刻在改变，所以说：是含时的，(1)式右侧一定会有含时项. 那么含时项是谁呢？当然是啦！静止坐标系的基矢是不可能动的！
我们将(1)式高度简化（“反人类”开始~）：（2）
我们来研究一下变化矩阵的性质. 之前我们讲到，与在时是重合的，也就是说，这不正是说明在初始时刻是三阶单位矩阵吗！我们还是用线性代数的语言写出来：（3）
既然这个变换矩阵在初始时刻为单位矩阵，那么在其他时刻会是怎样的呢？
的行列式始终为1！
很多人就好奇了，为什么做这样一个猜想呢？这个猜想正不正确呢？我们先不解释为什么做这个猜想，但是我们要来证明一下，这个猜想确实是对的.
如果真的想证明这个猜想，我们只需要证明就够了（是单位矩阵哈）.因为一旦成立了，那么一定有，而我们又知道，所以就得出了.
运动是连续的啊！是时间的连续函数，而初始时刻它的值又是1，所以我们可以确定它的值不会跃变到-1. 所以，我们的任务就变为了证明这个表达式：（4）
这可怎么证明呢？我们貌似看到了问题的困难：摆在我们面前的是一堆抽象的符号，我们很难直接想到一种思路来证明这极其“抽象”的表达式. 或许，从线性代数的角度出发，把上面的具体化一下，我们也许就能得到一些有用的式子.怎么“具体化”呢？我们这样做：因为是一个的矩阵，我们不妨假设它的各个元素是，于是有：
于是，就写成了：
相信大家满脸问号：这也看不出什么啊？！别着急嘛！还没说完呢. 我们先来看一个很简单的运算符号：直角坐标系中基矢间点乘的结果可以通过运算来表示，运算的定义如下：
这个运算理解起来比较容易，比如，而. 我们现在来对系中的坐标基矢进行运算
例如：（8）
我们联系(2)、(5)式（忘了是什么？快回去看！），把(8)式中的 进行展开计算：（9）
啊！太多了！我们还可以计算诸如、等共计9个运算，也就是的所有表达式. 我这里偷个懒哈，大家自己去算哟（斜眼笑ing）~
观察(9)式，我们发现，(9)式的结果不正是(6)式中矩阵乘积结果的第1行、第2列的值吗！不仅如此，我们经过计算还能发现：的第一个下角标代表了(6)式中矩阵乘积结果的行号，而第二个下角标则代表了列号！多么惊人的发现！！那么，我们之前所写的就可以写成：
那么，若要证明我们的猜想（快看(4)式！），我们只需要证明：
聪明的你一眼就看出来了，这不是很显然的嘛！根据(7)式，在时，有，而在时，（），这下看得出来了吧！(11)式中的矩阵恰好为单位矩阵！
得来全不费工夫（自行取反~）！我们的猜想是对的！我们惊奇地得到了一个引理：（12）
有人还会问：好像还有个问题没有解答啊，为什么要做这个猜想呢？我们继续卖个关子，请各位接着往下看~
下面就要真正开始证明刚体欧拉定理了. 我们做好了充足的前期准备，只等最后的奋斗！
假设有一个固连于刚体的质点，它的位置矢量在和系中表示为：（13）
假设质点在时的位矢为（14）
其对应在系中的坐标为. 好的，现在我们又要回忆线性代数中的知识了：在坐标的线性变换中我们学过，线性变换前后的坐标之间通过一个变换矩阵来连接. 在这一问题里面，就表示成为：（15）
其中，是含时的，我们用一个坐标变量来代表三个坐标，于是，表示为：（16）
于是，我们就把(15)式的表达搞得很简单：（17）
联系一下运动学，我们可以这样讲：(17)式，便是质点的运动方程. 回想一下，我们的目标是找到一个“轴”，这个“轴”有什么性质呢？对！在这个轴上的所有点都是不时变的！也就是说，在这个轴上的所有点都必然满足（18）
我们只需要证出满足(18)式所描述的点的存在性即可！
假设真的有这么一个轴，这个轴上的任意一点的坐标不时变. 将这些点的坐标记为. 很多人又开始迷糊了：好端端的不用，为何又要用呢？其实，完全是为了方便观察. 于是，我们得到了：（19）
准备好啊，我们要开始大量计算了！
将(19)式代入(17)式，得到，这里仍然是为了方便，将简写成了.对这个式子两侧转置（注意别忘了“穿透法则”！）得到：，这样的形式还不是有利于观察的！我们最后把它左右调换位置，写成：（20）
这不正是线性代数中的特征值定义方程嘛！忘了的同学一起来复习哈：线性代数中给出了矩阵的特征值的定义方程，即满足方程的的值为矩阵的特征值，其中称为特征值对应的特征向量.
对比(20)式的和特征值定义方程，我们很容易就发现，如果此转动轴存在，则必然说明：存在非零的，满足：是矩阵的特征值1所对应的特征向量.
到这里，大家应该一下子就明白了之前的疑问，为什么要再引入一个“”？当然，只是为了有利于我们的观察. 否则，一个变量搞来搞去，不一会就糊涂了~
碰巧的是，线性代数还给出了特征值方程中特征向量存在且具有非零解的充分必要条件是：.因此，我们只需要证明就可以了.
为了表述方便，令，结合(12)式中给出的，我们在等式右侧乘以，得到：（21）
继续对的表达式进行数学计算和处理：
我们看到希望啦！！！！也就是说我们证明出了！
至此，我们已经完全证明了满足的点构成的轴确实存在. 刚体定点运动的任意位移，都可以通过绕该定点的某个轴一次转动实现.多么美妙的一个定理！
参考文献
· H. 戈德斯坦. 经典力学（第2版）
· A. 马尔契夫. 理论力学（第3版）. 李俊峰 译
[本文作者施鹏毅系北京师范大学物理学系二年级本科生。指导老师：涂展春]
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