创刊70周年特邀综述---相场方程的高效数值算法

相场模型是基于扩散界面问题而提出的，主要思想可以追溯到van der Waals^[1]用密度场处理液-气体系中的流体界面问题的研究。而我们所常见的相场模型主要是基于Ginzburg和Landau提出的用于处理超导性的数学模型^[2]，在已知的温度和压力等物理量条件下,该模型采用相场变量来区分材料的不同相态，这些量和它们的梯度量被称为序参数；随后Cahn和Hilliard基于热力学方程，在连续的意义下，利用摩尔密度作为序参数建立了相应的相场模型^[3，4]。

相场模型在材料科学、复杂流体和图像处理等领域有着广泛的应用，相场方程的高效数值模拟近年来受到越来越多的重视。然而如何设计高效稳定的数值算法一直以来都是十分困难的，主要体现在以下几个方面。第一，构造出的数值算法需要准确捕捉相变的动态信息，同时在长时间数值模拟中保证系统的稳定性。第二，相场模型满足一些特有的物理性质，如质量守恒性质和能量递减性质，构造出的算法需要满足方程固有的物理性质。第三，由于相场问题中存在很强的非线性性，如何构造出高效的高阶算法是一个难题。

本文以常见的几类相场方程为例，回顾了求解相场方程数值算法的一些最新进展，阐述了几类广泛使用的高效数值格式，并且给出了一种基于能量随时间的变化率而设计的时间自适应算法^[5]，使得数值解的准确性和算法稳定性得到保证的前提下，计算效率大大提高。现有算法在实际问题计算中已经有了很广泛的应用，对各种复杂相场模型的计算，需要适当调整本文介绍的高效算法。在相场模型数值模拟的算法设计、稳定性和收敛性分析中还存在很多开放的课题。希望此文能给对相场计算和分析有兴趣的读者一些启发，并能吸引更多科研人员关心相场方程的高效数值算法，做出更深入、更系统的研究成果。

论文信息

汤涛, 乔中华. 相场方程的高效数值算法. 中国科学: 数学, 2020, 50: 775-794.

参考文献：

1.  van der Waals J D. The thermodynamic theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density. J Stat Phys, 1979, 20: 200–244.

2.  Landau L D, Ter Haar D. Collected Papers of L.D. Landau. Oxford: Pergamon, 1965.

3.  Cahn J W, Hilliard J E. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy. J Chem Phys, 1958, 28: 258–267.

4.  Cahn J W, Hilliard J E. Free energy of a nonuniform system. III. Nucleation in a two-component incompressible fluid. J Chem Phys, 1959, 31: 688–699.

5.  Qiao Z, Zhang Z, Tang T. An adaptive time-stepping strategy for the molecular beam epitaxy models. SIAM J Sci Comput, 2011, 33: 1395–1414.

作者简介：

汤涛

中国科学院院士，北京师范大学--香港浸会大学联合国际学院校长，南方科技大学杰曼诺夫数学中心讲座教授。长期从事计算数学研究，曾荣获冯康科学计算奖，国家自然科学二等奖，2018年获邀在国际数学家大会作45分钟报告。

乔中华

香港理工大学副教授，主要从事微分方程的数值算法设计及分析工作。曾获得2013/2014年度香港研究资助局杰出青年学者奖及2018年度香港数学会青年学者奖。

来源：中国科学杂志社