作者：[美]特里斯坦·尼达姆
编者按：《复分析：可视化方法》英国彭罗斯爵士（数学家彭罗斯因黑洞研究获诺贝尔物理学奖）的学生尼达姆著，齐民友先生翻译的一本书。现在重印了。作者是想用牛顿写原理的方法，即可视化的方法解释初等复分析，说形象思维的名声在数学中被玷污了，作者试图公开向占统治地位的纯符号逻辑叫板。
下面摘自齐民友先生的《译后序》。感谢出版社授权。
在译完这本书后，我有一些想法愿与读者分享。
我在翻译过程中看到几位读者对本书的评论，还有一些刊物上的书评，以及读过部分内容的读者的意见。他们几乎一致的看法是，这本书有很高的独创性：在一门有近200年历史，而且已经有了数十部公认名著的基础分支学科里，能够写出如此不同凡响的著作，实在难得。
但是应该承认，本书仍然是一本基础教科书。因为一方面它的基本内容确实属于复分析的传统领域；另一方面，它所要求于读者的预备知识也仅限于“比较认真地”读过微积分与线性代数（当然，“比较认真地”也是说起来容易做起来难）。那么，还有什么可以向读者说一说的呢？
这本书的书名就标明了可视化。可视化当然属于当前最热门的时尚“品牌”，而且完全是由信息技术派生出来的。那么，本书的要点是否教读者如何使用计算机之类的方法呢？否。本书确实强调计算机的作用，甚至许多习题需要用计算机来完成。但是，正如作者指出的那样，「应该像物理学家对待实验室那样对待计算机：用它来发现或验证新思想，解决新问题」。
作者认为，「他的这本书出生于“牛顿的《原理》一书的创世纪中”。他从牛顿那里学到了方法，甚至学到了技巧。这就是强调问题的几何本质；或者说，强调从事物的几何与物理侧面来直观地理解事物。」
著名数学家克莱因（即埃尔朗根纲领的提出者）在他的名著《高观点下的初等数学》（此书中译本由复旦大学出版社出版）的第1卷关于“数学的现代发展及一般结构”的一节中指出，「数学的发展和教学有三种进程，即进程A、进程B和进程C」。
进程A的特点是强调概念的明确性，逻辑上的无懈可击，方法的单纯性，逐步演绎，环环相扣，绝无不必要的引申，总之，使数学成为严整的体系。其陈述方式是：定义、定理、证明、推论，等等，每句话、每个式子都要有根据。
进程B,这是克莱因特别推崇的进程,强调数学概念的生成和发展，强调各个分支的相互联系，强调逻辑推理背后的直觉和物理内涵。其陈述方式主张夹叙夹议，娓娓道来，生动活泼，发人深省。已故的吴大任教授在为《高观点下的初等数学》中译本写的序言中说，克莱因的思想可以用“融合”二字来概括：数学与物理学的融合，数学各分支的融合，逻辑推理与直觉的融合,还有数学的逻辑展开与历史发展的融合。
克莱因还以欧拉公式
为例详细比较了进程A和进程B。他尖锐地批评了当时（指19世纪末）的德国数学教学。实际上，他的批评对我们今天的教学也完全适用：这个是怎样来的？为何以它为底的对数称为自然对数，欧拉公式难道是天上掉下来的吗？我自己就遇到过类似问题：
幂级数
的每一项都没有周期,为什么加起来以后就出现了周期？
总之，学生们在逻辑上接受了某个结论，不等于“实际上”理解了这个结论。这就是在数学上过分强调进程A带来的副作用。本书作者强调自己是认真研究了牛顿的原理以后才理解的，必须从数学问题的直觉、经验的侧面去“体会”，数学才能得到真正的理解，才能“悟”其真谛。因此，他用了极大的精力去探求复分析的许多我们已经非常熟悉的结论的几何内涵和处理方法，包括对上述欧拉公式的理解。所以读后确有耳目一新之感。
比较克莱因的说法与作者的说法，这本书可以说是作者在按照进程B帮助读者教或学复分析上所做的努力，而作者取得的成功是有目共睹的。
进程C是另外一回事，这里不去讨论。
如果要比较进程A和进程B的优劣，就会得到进程B远优于进程A的结论。本书作者当然是这样看的。但是，克莱因尽管充分评价进程B,而且一直身体力行,但没有说出孰高孰低。他认为，这两种进程都为数学发展所必需，互相切磋,又互相补充。
克莱因说得很对，在教学与研究中，采取哪一种进程，视各人的学识素养与爱好而定，也视整个数学发展的需要而定。为什么牛顿特别倾向几何学？至少部分由于在牛顿的时代几何学最为成熟，而且是人们（不只是牛顿）解决科学问题的最有力工具。牛顿以及他同时代的大科学家（还应加上伽利略）都是欧氏几何的高手。他的《原理》一书可以说是充满了求解“几何难题”的例子，以致微积分的基本思想——略去高阶无穷小，也时常隐藏在几何难题后面，所以读起来很难得其三昧。
说个笑话：如果你不能放开慧眼，从几何与物理角度审视问题，就难以亨穿大千世界;但是，如果你这样做了，立定足跟，循此渐进，自然能进入牛顿的不二法门，一种几何化的物理科学。
本书作者这样的做法，值得我们效仿。这当然有很大的难度。所以牛顿以后，欧拉、拉格朗日和拉普拉斯，就以分析的方法来处理同样的问题。欧拉说过，完全几何的方法,时常难以解决力学问题，或者只能部分地解决。而拉普拉斯的名著《天体力学》则把天体运动的研究完全归结为研究微分方程，再考虑微积分的基础，经过两百多年的锤炼，借助的语言得到了较完美地解决。进程A就占据了统治地位。
当然,从几何和物理侧面考察问题的方法,也就退居后台了19世纪数学的发展，风向似乎又有了改变。这里起决定作用的有高斯，特备是黎曼（他是本书特别推崇的大师）。
“回到牛顿”可能是20世纪才有的口号，但潮流的改变在当时已经十分明显。不妨说，这是本书的一条主线。但是，作者并没有借助于几个几何难题。
所谓强调几何和物理实质，其具体内容读者能在书中看到。这里需要特别强调的是，计算机的出现不仅对于研究工作的影响已经有目共睹，而且它为数学教学开辟了多么广阔的前景远非我们今天敢于估计的。作者将可视化展现在本书书名中，不但是由于数学的本质就有可视化这一侧面，而且由于今天的信息技术的现状使我们能够在前人无法想象的程度上揭示这个侧面。
当然，任何事物都有两个方面。强调了几何直觉一面，就有可能对于数学严格性有所忽视。作者并没有回避这一点。他明确地宣称，他总是把“洞察力”置于严格性之前。为了得到更深刻的洞察，宁可（在某种程度上）牺牲严格性·全书基本上没有用e-d语言，而且非常自由地把小量与无穷小量混起来用。作者常用“最终相等”之类的说法，时常把相差高阶无穷小就说成是相等。当然，作者明白地说，这些说法都有确切的数学含义，但是他并不引述任何一·本数学书，而是引证了一位大物理学家S。Chandrasekhar的
Newton's Principia for the Common Readers―书（在这部关于复分析的近600页的大书里，竟然没有魏尔斯特拉斯的名字，这恐怕只能以作者是“性情中人”来解释了）。读者当然会问，这样做利弊如何，是有利于学生更深刻地理解数学概念、方法、理论的实质，还是实际上在鼓励一种大而化之的空疏作风？这当然要看教学的实际情况而定。但是，问题并不如此简单。例如在第5章里，作者实际上宣布了，一个解析函数序列只要收敛，必可逐项求导。这当然是错了，但是，即使像柯西这样的大师，也犯过类似错误。正是阿贝尔以致魏尔斯特拉斯等人按照进程A的要求正确地处理了这个问题,否则就不会有今天的复分析。
至于译者，在大多数问题上是尊重了原作者的处理，但在这类问题上，就不能简单、客气地说原书错了，只好写一个比较长的脚注。这里并不是讨论数学方法论或教学论的合适地方，但是应该指出，并非所有数学概念、方法和理论都可以或者适合于可视化。进程B和进程A相辅相成甚至相反相成，能不能说，进程B帮助我们放开意眼，而进程A则让我们立定足跟？
对于译者，本书的启示在于，数学书没有一个至高无上不得违抗的写法，现今最流行的不一定是最好的，更不一定是最适合你的。这就给学数学和教数学留下了广阔的创造空间。
作者：[美]特里斯坦·尼达姆
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